תת-חבורת הקומוטטורים – הבדלי גרסאות
שורה 12: | שורה 12: | ||
לדוגמה, |
לדוגמה, |
||
תת-חבורת הקומוטטורים של [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>\ S_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] המתאימה, <math>\ A_n</math>, בעוד ש- <math>\ A_n</math> |
תת-חבורת הקומוטטורים של [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>\ S_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] המתאימה, <math>\ A_n</math>, בעוד ש- <math>\ A_n</math> מושלמת לכל <math>\ 5\leq n</math> (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית). |
||
==תכונות== |
==תכונות== |
גרסה מ־13:48, 30 באפריל 2007
במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים של חבורה היא התת-חבורה הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים של אברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.
הגדרה
הקומוטטור של שני אברים g,h בחבורה G הוא, לפי ההגדרה, האיבר . תת-חבורת הקומוטטורים של היא החבורה הנוצרת על-ידי כל האברים האלה, כלומר, .
את החבורה המתקבלת מסמנים , או . הסימון האחרון מאפשר הכללה: אם תת-חבורות נורמליות של G, אז היא תת-החבורה הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים עבור ; גם זו תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- A וב- B.
כעת אפשר להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: , ולכל n,
.
אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון
נקראת חבורה מושלמת.
לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, , בעוד ש- מושלמת לכל (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).
תכונות
תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה היא אבלית: לכל תת-חבורה נורמלית N של G, המנה אבלית אם ורק אם .
מכיוון שהומומורפיזם מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה . עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- ובפרט .
ידוע שכל איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא "קומוטטור ארוך", מן הצורה , [1] אם כי בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה.
תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש תת-החבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות A,B,C של G, .
ראו גם
אלגברה מופשטת | ||
---|---|---|
ענפים | אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות | |
מבנים אלגבריים | מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית | |
מושגי יסוד | הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית |
- ^ תרגיל 2.42 ב- An Introduction to the Theory of Groups, J.J. Rotman