חלוקת פולינומים – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 5: שורה 5:
התוצאה <math>R(x)=0</math> תופיע [[אם ורק אם]] <math>D(x)</math> הוא גורם של <math>P(x)</math>, כלומר, ניתן לרשום את <math>P(x)</math> כמכפלה של הפולינום <math>D(x)</math> בפולינום אחר. בנוסף, על פי [[המשפט הקטן של בזו]], אם <math>a</math> הוא שורש של <math>P(x)</math>, דהיינו <math>P(a)=0</math>, אזי <math>(x-a)</math> הוא גורם של <math>P(x)</math>. לכן, נעשה שימוש נרחב בחלוקת פולינומים הן על מנת לפרק את הפולינום לגורמים והן על מנת לפשט את הליך מציאת השורשים הנוספים שלו, אם אחד מהם כבר ידוע{{הערה|https://math-wiki.com/images/1/12/חילוק_פולינומים_הסבר.PDF}}.
התוצאה <math>R(x)=0</math> תופיע [[אם ורק אם]] <math>D(x)</math> הוא גורם של <math>P(x)</math>, כלומר, ניתן לרשום את <math>P(x)</math> כמכפלה של הפולינום <math>D(x)</math> בפולינום אחר. בנוסף, על פי [[המשפט הקטן של בזו]], אם <math>a</math> הוא שורש של <math>P(x)</math>, דהיינו <math>P(a)=0</math>, אזי <math>(x-a)</math> הוא גורם של <math>P(x)</math>. לכן, נעשה שימוש נרחב בחלוקת פולינומים הן על מנת לפרק את הפולינום לגורמים והן על מנת לפשט את הליך מציאת השורשים הנוספים שלו, אם אחד מהם כבר ידוע{{הערה|https://math-wiki.com/images/1/12/חילוק_פולינומים_הסבר.PDF}}.


==דרך פעולת האלגוריתם==
==דוגמה==
בהינתן <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math> (מחולק) ו-<math>D(x)=b_kx^k+b_{k-1}x^{k-1}+...+b_1x+b_0</math> (מחלק) כך ש-<math>k\le n</math>, עם <math>a_n</math> ועם-<math>b_k</math> השונים מאפס, החלוקה מתבצעת כדלהלן:
=== חלוקת פולינומים ===

נחלק את האיבר הראשון של <math>P(x)</math> באיבר הראשון של <math>D(x)</math>, דהיינו, את האיבר בעל החזקה המקסימלית של <math>P(x)</math> באיבר בעל החזקה המקסימלית של <math>D(x)</math>.

:<math>
\begin{array}{l}
{\color{White} b_kx^k+b_{k-1}x^{k-1}+...+b_1x+b_0 ) }x^{n-k}\\
\overline{ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}\vert{b_kx^k+b_{k-1}x^{k-1}+...+b_1x+b_0}
\end{array}
</math>

=== דוגמה ===
נמצא את מנת החלוקה ואת השארית שלה עבור חלוקת הפולינום <math>P(x)=x^3 - 2x^2 - 4</math> (המחולק) בפולינום <math>D(x)=x-3,</math> (המחלק).
נמצא את מנת החלוקה ואת השארית שלה עבור חלוקת הפולינום <math>P(x)=x^3 - 2x^2 - 4</math> (המחולק) בפולינום <math>D(x)=x-3,</math> (המחלק).



גרסה מ־20:30, 30 במרץ 2021

באלגברה, חלוקת פולינומים או חלוקת פולינומים עם שארית או חלוקה אוקלידית, היא אלגוריתם לחלוקת פולינום בפולינום אחר שדרגתו[1] קטנה מזו של המחולק או שווה לשלו. למעשה, אלגוריתם זה מהווה הכללה לאלגוריתם החילוק הארוך באריתמטיקה. בדומה לחילוק האריתמטי, גם חילוק פולינומים מפרק בעיה מתמטית, העשויה להיות מסובכת, לתתי-בעיות פשוטות יותר, ולכן, הוא פשוט ונוח לשימוש באופן יחסי. זאת ועוד, קיימות גם שיטות המקצרות את תהליך חלוקה זה, כדוגמת חלוקה סינתטית[2].

האלגוריתם מיישם הלכה למעשה את תכונת הפולינומים הבאה. בהינתן (מחולק) ו- (מחלק) כך ש- ובניסוח מדויק, , ניתן לבטא את כ- עבור פולינום שיקרא המנה ועבור פולינום שיקרא שארית החלוקה, כך שדרגת השארית קטנה (ממש) מדרגת המחלק , כלומר .

התוצאה תופיע אם ורק אם הוא גורם של , כלומר, ניתן לרשום את כמכפלה של הפולינום בפולינום אחר. בנוסף, על פי המשפט הקטן של בזו, אם הוא שורש של , דהיינו , אזי הוא גורם של . לכן, נעשה שימוש נרחב בחלוקת פולינומים הן על מנת לפרק את הפולינום לגורמים והן על מנת לפשט את הליך מציאת השורשים הנוספים שלו, אם אחד מהם כבר ידוע[3].

דרך פעולת האלגוריתם

בהינתן (מחולק) ו- (מחלק) כך ש-, עם ועם- השונים מאפס, החלוקה מתבצעת כדלהלן:

נחלק את האיבר הראשון של באיבר הראשון של , דהיינו, את האיבר בעל החזקה המקסימלית של באיבר בעל החזקה המקסימלית של .

דוגמה

נמצא את מנת החלוקה ואת השארית שלה עבור חלוקת הפולינום (המחולק) בפולינום (המחלק).

תחילה, נכתוב מחדש את המחולק באופן הבא:

.

כעת, נבצע את התהליך דלהלן:

נחלק את האיבר הראשון של באיבר הראשון של , דהיינו, את האיבר בעל החזקה המקסימלית של באיבר בעל החזקה המקסימלית של . במקרה זה, מדובר ב-. את התוצאה, נכתוב מעל לקו האופקי:

  • נכפול את כל איברי המחלק בתוצאה שקיבלנו זה עתה, ונקבל . נכתוב את התוצאה תחת האיברים הראשונים של המחולק:
  • נחסר את התוצאה שרשמנו מהאיברים שמעליה ומיד לאחר מכן, נעתיק מטה את האיבר הראשון מימין לאיברי המחלק שביצענו עליהן כעת פעולה.
  • נבצע כעת שוב את אותה סדרת פעולות עבור הפולינום החדש שהתקבל מההפרש ומהוספת האיבר הנוסף.
  • כעת, לא ניתן להעתיק מטה אף איבר. נסיים את התהליך.
  • הפולינום שהתקבל מעל לקו האופקי הוא המנה והפולינום, במקרה זה ממעלה 0[4], שנותר אחרי הפעולה האחרונה, הוא השארית . לכן, קיבלנו כי .

    שימושים

    פירוק פולינומים לגורמים

    בהינתן פולינום, לעיתים, שורש אחד או יותר שלו כבר ידועים אך ייתכן כי קיימים לו כאלו נוספים. אם ידוע כי הוא שורש של פולינום - פולינום ממעלה , כלומר מתקיים כי , ניתן לחלק את ב- ומהמשפט הקטן של בזו נובע כי שארית החלוקה היא 0. לכן, נקבל במקרה זה כי עבור , כלומר דרגת המנה היא . בחלק מהמקרים, הפולינום הוא כזה שקל יותר למצוא את שורשיו. מאחר שכל שורש שלו הוא גם שורש של , הרי שבכך יועל תהליך מציאת השורשים של הפולינום המקורי.

    באופן דומה, אם ידועים יותר משורש אחד של הפולינום, לדוגמה, ידוע כי שורשים שלו, ניתן לחלק את הפולינום ב- ולקבל . כעת, ניתן לחלק את ב- ולקבל כי כך שדרגתו של קטנה מהדרגה של . לכן, . כעת, ניתן להמשיך את התהליך, עד שבסופו של דבר יתקבל כי כך שדרגת קטנה מ-.

    מציאת ישר משיק לנקודה על גרף של פונקציה פולינומית

    ניתן להשתמש בחלוקת פולינומים גם למציאת משוואת הישר המשיק לנקודה הנמצאת על גרף של פונצקייה פולינומית. בהינתן פונקציה ונקודה , משוואת המשיק לגרף בנקודה תהיה שארית החלוקה של ב-.

    דוגמה

    נמצא את משוואת הישר המשיק לפונקציה בנקודה .

    נחלק את הפולינום ב-:

    לכן, משוואת המשיק המבוקשת היא .

    בדיקת יתירות מחזורית

    בבדיקת יתירות מחזורית משתמשים בשארית החלוקה של פולינומים עבור ניטור שגיאות בהעברת מסרים.

    ראו גם

    קישורים חיצוניים

    הערות שוליים

    1. ^ דרגת פולינום מוגדרת כחזקה המקסימלית של איבר עם מקדם שאיננו 0. למשל, דרגת הפולינום היא 3.
    2. ^ איך לנחש ולבדוק שורשים אמיתיים - 3 - בדיקות שורשים על ידי חלוקת פולינומים מחלקה סינתטית - Dummies 2021, באתר No dummy
    3. ^ https://math-wiki.com/images/1/12/חילוק_פולינומים_הסבר.PDF
    4. ^ ניתן להתייחס לכל מספר קבוע שאיננו אפס כאל פולינום ממעלה 0.