0.999...

במתמטיקה, הסימון ...0.999 מציין את הפיתוח העשרוני האינסופי, שבו כל הספרות שאחרי הנקודה העשרונית הן 9. על-פי ההגדרה המקובלת לפיתוח העשרוני, המספר שווה ל־1. השוויון ...0.999=1 אינו ייחודי; כל מספר ממשי בעל שבר עשרוני סופי אפשר לייצג גם באמצעות שבר עשרוני המסתיים בסדרה אינסופית של תשיעיות. כך למשל, המספר 13.412 ניתן לייצוג גם בתור המספר ...13.411999. תכונה זו בעצמה אינה ייחודית לכתיב העשרוני: לכל בסיס b, אפשר לייצג כל שבר סופי גם בעזרת רצף אינסופי שבו חוזרת הספרה b-1.

אף על פי שהשוויון מקובל ללא עוררין על הקהילה המדעית, הגדרת הפיתוח העשרוני מסתמכת על מושג הטור המתכנס מן האנליזה המתמטית. אנשים שאינם מכירים אינם מבינים או אינם מקבלים רעיונות אלה, מתנגדים לשווין ומנסים ליצור גישות אלטרנטיביות בהן הוא לא יתקיים. יש כמובן מערכות מספרים ושיטות כתיבה אחרות בהן לביטוי ...0.999 אין משמעות או יש משמעות שונה מ-1, אולם בכל דרך עיקבית להציג את המספרים הממשיים באמצעות שברים עשרוניים שיויון זה יתקיים.

העוסקים בחינוך מתמטי מכירים את הקושי שבקבלת השוויון של המספר שבכותרת ל-1. גם בקבוצת הדיון sci.math, נערכו דיונים רבים בנושא השוויון, ואלו הביאו בסופו של דבר להכללת הסברים עבורו בקובץ השאלות והתשובות של הקבוצה.

קיימת הוכחה פשוטה לשוויון 0.999999... = 1, המבוססת על ההנחות הבאות:

• לשבר עשרוני אינסופי יש ערך מוגדר היטב ויחיד.
• כפל של שבר עשרוני אינסופי בעשר שווה לשבר המתקבל מהזזת הנקודה העשרונית מקום אחד שמאלה.
• אפשר לחסר שברים עשרוניים אינסופיים.

נגדיר $a=0.999999....$
לכן $10a=9.99999999....=9+a$
נחסר מ 10a את a: $10a-a=(9+a)-a=9$
לכן $10a-a=9$,
כלומר $9a=9$
כלומר $a=1$. מבחינה מתמטית אין עינין מיוחד בשיוויון 0.999999... = 1. הוא מסכנה מידית מהמושג פיתוח עשרוני של מספר ממשי. אולם השיווין מושך צומת לב רבה בהוראת המתמטיקה מיכיוון שהוא מקרה מבחן להבנת המוסגים: מספר ממשי, טור, סדרה, גבול, פיתוח עשרוני אינסופי ועוד. אמונם משגים אלו יסודיים מאוד במתמטיקה המודרנית, אך הם עמוקים וקשים להבנה. בהתאם, בתיכון הם נלמדים באופן שיטחי בילבד, ולמידה מעמקה שלהם מתבצעת רק בבמסגרת לימודים אקדמיים במתמטיקה.

מסבה זאת הנושא מושך עיליו גם mathematical cranks רבים.

פיתוח עשרוני

ערך מורחב – השיטה העשרונית

בשיטה העשרונית, שבה אנו משתמשים בחיי היום-יום והיא גם שיטת הספירה המקובלת במתמטיקה, מבטאים כל מספר שלם כסכום של חזקות של 10, המוכפלות בספרות 0 עד 9. בשיטה העשרונית אפשר להציג כשבר עשרוני סופי רק את המספרים השווים למנת החילוק של מספר טבעי a בחזקה שלמה של 10, $\textstyle {\frac {a}{10^{n}}}$. מספרים רבים, ובהם מספרים רציונליים רבים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל מספר ממשי x, אפשר להציג כסכום אינסופי של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x; אבל עובדה זו אינה מובנת מאליה, ואף אינה דרושה כאן.

פיתוח עשרוני אינסופי

בדיוק כפי שרצף ספרות סופי $\ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ מובן כסכום $\textstyle {\frac {a_{0}}{10}}+{\frac {a_{1}}{100}}+\dots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}$, שהוא לעולם מספר רציונלי, אפשר להבין את הרצף האינסופי $\ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n}\dots$ כסכום אינסופי, $\textstyle {\frac {a_{0}}{10}}+{\frac {a_{1}}{100}}+\dots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+\dots$. לסכום כזה נקרא "טור עשרוני", המתאים לשבר העשרוני האינסופי $\ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n}\dots$.

בגישה זו (שהיא התפיסה המקובלת במתמטיקה, ללא עוררין), יש שתי בעיות.

• ראשית, מהי המשמעות של סכום אינסופי? מרגע שהוגדר הסכום של שני מספרים, אפשר להגדיר את הסכום של כל קבוצה סופית של מספרים באינדוקציה; אולם, הגדרה זו אינה מעניקה מובן לסכום של קבוצה אינסופית, ומושג זה דורש הגדרה חדשה. במהלך הטיפול במושג החדש מתברר עד מהרה שקל יותר לטפל בסכום של קבוצה שעיבריה ממספרים ע"י מספרים טבעיים (1,2,3,...), במקום בסכום של קבוצה כללית. קבוצות כאלה נקראות סדרות. לסידרה שאותה מבקשים לסכם, קוראים במתמטיקה טור; בסוגיית הסיכום של טורים עוסק החשבון האינפיניטסימלי (ראו גם גבול של סדרה). בכל הגדרה מקובלת לסכום של טור, יש טורים שקיים להם סכום (אלו נקראים "טורים מתכנסים"), וטורים שלא קיים להם סכום (אלו נקראים "טורים מתבדרים"). כל הטורים העשרוניים מתכנסים.

• כאן מתעוררת הבעיה השנייה - היכן מחשבים את הסכום? כל טור עשרוני מתכנס למספר ממשי, אבל מספרים אלה בדרך-כלל אינם רציונליים. במילים אחרות, יש טורים עשרוניים שאינם מתכנסים למספר רציונלי. עובדה זו ניתן לבטא בשתי דרכים: מנקודת המבט של המספרים הרציונליים, לטור כזה אין סכום; ומנקודת המבט של המספרים הממשיים, יש לו סכום, שאינו רציונלי.

לכן כדי לתת משמעות לשבר עשרוני יש לקבועה תחילה איזה סוג מספר הוא מתאר ובאיזה מושג של התכנסות משתמשים כדי לפרש אותו. בהקשרים מסוימים יש יותר ממשמעות אחת למושג ההיתכנסות. קביעת משמעות למושג ההתכנסות נעשת בדרך כלל על ידי קביעת טופולוגיה. מקובל לתאר באמצאות שברים עשרוניים אינסופיים מספרים ממשיים. על אוסף המספרים הממשיים יש טופולוגיה מקובלת אחת, לפי טופולוגיה זאת גבול של טור חיובי הוא המספר הקטן ביותר אשר גדול מכל הסכומים הסופיים של עברי הטור.

יש דרך קלה להבחין בין הטורים העשרוניים שסכומם רציונלי, לאלו שסכומם אינו כזה. בשבר עשרוני מחזורי יש קבוצת ספרות החוזרת שוב ושוב ממקום מסוים והלאה. בשבר כזה מקובל לסמן את הקבוצה החוזרת בקו עילי או בנקודות עיליות, או להמשיך את השבר בשלוש נקודות, כאשר הקבוצה החוזרת מובנת מן ההקשר. כך למשל $\ 0.59{\overline {09}}=0.5{\overline {90}}=0.59090...$ מסמן את השבר שבו, לאחר הספרה 5, חוזרות הספרות 90 ללא גבול. באופן דומה, בפיתוח העשרוני ...0.333, שלוש הנקודות מציינות שהפיתוח אינו מסתיים, והספרה 3 מופיעה בו בכל מקום. מספר זה שונה, מן השבר הסופי 0.333. מתברר שלכל טור עשרוני מחזורי יש סכום רציונלי, ולכל טור עשרוני שאינו מחזורי יש סכום שאינו רציונלי.

סיכום של שברים עשרוניים

כדי להעניק משמעות לכל שבר עשרוני (מחזורי או שאינו מחזורי) יש להקדים ולפתח באופן מסודר את שדה המספרים הממשיים (באחת משתי השיטות המקובלות, סדרות קושי או חתכי דדקינד, או בדרך אחרת). לאחר מכן, ההגדרה המקובלת, והמתבקשת מאליה, תתאים לביטוי הפורמלי $\ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n}\dots$ את המספר הממשי היחיד שהוא סכומו של הטור $\ {\tfrac {a_{0}}{10}}+{\tfrac {a_{1}}{100}}+\dots +{\tfrac {a_{n}}{10^{n}}}+\dots$. בגישה זו יש להוכיח, כמובן, שהטור מתכנס (במרחב של המספרים הממשיים).

אף-על-פי-כן, אם מעוניינים לסכם רק שברים עשרוניים מחזוריים (כגון השבר $\ 0.999...$), אין בכך צורך: סכומו של הטור ההנדסי $\ 1+{\tfrac {1}{10^{m}}}+{\tfrac {1}{10^{2m}}}+\dots$ הוא $\ {\tfrac {1}{1-{\frac {1}{10^{m}}}}}={\tfrac {10^{m}}{10^{m}-1}}$, ולכן אפשר לקבל, כהגדרה, שהשבר המחזורי $\ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{k}{\overline {a_{k+1}\dots a_{k+m}}}$ מסתכם למספר הרציונלי $\ {\tfrac {a_{1}}{10}}+\dots +{\tfrac {a_{k}}{10^{k}}}+{\tfrac {10^{m-1}a_{k+1}+10^{m-2}a_{k+2}+\dots +a_{k+m}}{10^{m}-1}}$ לחלופין, אפשר להוכיח את נכונותה של נוסחה זו, אם מניחים שתי הנחות פשוטות:

1. הביטוי (המחזורי) $\ 0.a_{1}a_{2}\dots$ מייצג מספר בשדה כלשהו.
2. ביטויים מסוג זה מקיימים את החוק $\ 10\cdot 0.a_{1}a_{2}\dots =a_{1}+0.a_{2}a_{3}\dots$.

משתי הנחות אלה נובע, למשל, ש- $\ 10\cdot 0.999...=9+0.999...$, ולכן $\textstyle \ 0.999...={\frac {9}{9}}=1$.

...0.999 בהגדרות שונות של שדה המספרים הממשיים

יש מספר דרכים שקולות להגדיר את המושג של מספר ממשי.

מספרים ממשיים בתור מחלקות שקילות של כיתובים עשרוניים

אחת הדרכים האלמנטריות לעשות זאת היא להגדיר מספר ממשי בתור כיתוב עשרוני (זאת אמרת בטוי מהצורה $a_{1}\cdots a_{n}.b_{1}\cdots b_{k}\cdots$ כאשר $a_{i}$ ו-$b_{i}$ הם ספרות) עד כדי יחס השקילות הבא:

$$a_{1}\cdots a_{n}.b_{1}\cdots (b_{k}+1)00\cdots 0\cdots$$

שקול ל

$$a_{1}\cdots a_{n}.b_{1}\cdots b_{k}99\cdots 9\cdots$$

ובאופן דומה:

$$a_{1}(\cdots a_{k}+1)0\cdots 0.0\cdots 0\cdots$$

שקול ל

$$a_{1}\cdots a_{k}9\cdots 9.9\cdots 9\cdots$$

בגישה זאת השוויון $1=0.999\cdots$ נובע ישירות מההגדרה מכיוון שעל-פי יחס השקילות שהוגדר מעלה שני יצוגים אלה שקולים. היתרון של הגדה זאת שאהי מפורשת ואלמנטרית והחיסרונות שלה שלא ברור למה מושג זה מתאים לאינטואיציה שלנו לגבי מספרים ממשיים וקשה להגדיר את פעולות החשבון הבסיסיות בעמצאות הגדרה זאת.

גישה אקסיאומטית למספרים ממשיים

במקום לתת בניה מפורשת של אוסף המספרים הממשיים, ניתן לתת רשימת פעולות שאנו רוצים לבצעה על מספרים ממשיים ודרישות שפעולות אלה צריכים לקיים. לדרישות אלו קוראים אקסיומות. יש מספר מערכות אקסיאומת המתארות את המספרים הממשיים ביחידות עד כדי איזומורפיזם. זאת אמרת, שאונם יכולים להיות 2 דוגמאות שונות לקבוצות עם פעולות שיקמו את מערכת האקסאומות דוגמאות אלה יהיו שקולות במובן שתהיה העתקה חח"ע ועל בין הקבוצות שמרת על הפעולות.

אחת ממערכות האקסאומות המגדירות את המספרים הממשיים היא האקסיאומות של שדה סדור שלם. בשדה סדור שלם הגבול של סידרה עולה שווה לסופרמום שלה. זאת אומרת למספר הקטן ביותר שגדול או שווה לכל עברי הסידרה. על פי גישה זאת, על מנת להוכיח את השיוויון $0.999\cdots =1$ יש להסיק אותו מהאקסאומות. להלן דוגמה להוכחה כזאת:

1. נסמן $a_{n}=0.9\cdots 9$ כאשר הספרה 9 חוזרת על עצמה $n$ פעמים.
2. תחילה מוכיחים באינדוקציה ש $a_{n}=1-{\frac {1}{10^{n}}}$
3. לכן הסדרה $a_{n}$ עולה וחסומה מלעל.
4. לכן, לפי אקסאומת השלמות, לסידרה יש גבול
5. לפי ההגדרה גבול זה הוא הערך של השבר העשרוני $0.999\cdots$.
6. כעת קל להסיק ש $0.999\cdots =1$ כפי שהוסבר מעלה.

היתרון הגדול של הגישה האקסיאומתית היא האוניברסליות שלה. כל בניה של המספרים הממשיים תקיים את האקסיאומות וכל קבוצה עם פעולות שמקימת את האקסיאומות יכולה להקראות קבוצת המספרים הממשיים. כמו כן האקסיאומות עצמן אינטואיטיביות למדי, ומתישבות עם הנסיון היום יומי שלו עם מושג המספרים הממשיים. מה שלא ברור אינטואיטיבית הוא שהאקסיאומות מספיקות כדי לתאר את המספרים הממשיים, ושכל עובדה שנכונה עבור המספרים הממשיים תהיה נכונה עבור כל קבוצה המקיימת את האקסאומות. טענה זאת נובעת מהיחידות (עד כדי איזומורפיזם) של קבוצת המספרים הממשיים. יחידות זאת כל יחסית להוכיח פורמלית (בהסתמך על האקסיאומת של תורת הקבוצות).

החיסרון של הגישה האקסיאומתית היא שהגישה לא מספקת בניה מפורשת לקבוצת המספרים הממשיים. היא לא נותנת באופן ישיר את התשובה לשאלה "מהוא מספר ממשי?". כמו כן היא לא מוכיחה שקימת קבוצה המקימת את כל האקסיאומות. לכן כדאי להשלים גישה זאת על ידי בניה מפורשת של המספרים הממשיים והוכחה שהאקסיאומת מתקימות עבור בניה זאת. בניה מפורשת כזאת תספק גם הוכחה שמערכת האקסיאומות של המספרים הממשיים היא עיקבית, בהנתן העיקביות של תורת הקבוצות.

ניתן להוכיח שהבניה שמופיעה מעלה מקימת את האקסיאומות, אולם הוכחה מסורבלת, לכן בדרך כלל מעדיפים בניות אחרות.

בניות נוספות של המספרים ממשיים

שתי הבניות הפופולריות לשדה המספרים הממשיים הן חתכי דדקינד ומחלקות שקילות של סדרות קושי. שתי הבניות מתבססות על אותו רעיון כללי:

1. תחילה מניחים שהמושג "מספר הממשי" כבר קיים.
2. לאחר מכן מצאים דרך לתאר ביחידות מספר ממשי $x$ ע"י מספרים רציונליים. בלים אחרות למצוא לו מעין תעודת זהות המורכבת ממספרים רציונליים. במקרה של חתחי דדקינד, "תעודת הזהות" היא קבוצת המספרים הרציונליים הקטנים מ - $x$. במקרה של סדרות קושי "תעודת הזהות" היא קבוצת הסדור של מספרים הרציונליים המתכנסות ל - $x$.
3. לבסוף מאפינם מה יכול להוות תעודת זהות של מספר ממשי (לפי הגישה שניבחרה) ואז מגדירים מספר ממשי להיות "תעודת הזהות" שלו.

רעיון זה עלול להראות קונטרא-אינטויטיבי כי נדמה שמה שאנחנו מגדירים זה לא המספר עצמו אלה משהוא שמיצג אותו. למעשה רעיון זה שימושי מאוד בכל המתמטיקה, מיכיוון שבמתמטיקה בדרך כלל אין משמעות למהות האוביקטים עצמם אלה רק לאוסף האוביקטים הרלבנטיים והאינטרקציות בניהם. כך אפשר לראות, הן חתך דדקינד והן במחלקת שקילות של סדרות קושי בתור שמות שונים לאותו מספר ממשי. כדי להוכיח את השיווין $0.999...=1$ (או כל טענה אחרת) בבניה מפורשת מסוימת די להוכיח שהאקסאומת של המספרים הממשיים מתקיימים בבניה זאת. העובדה שהשיווין נובעה מהאקסיאומות הסברה לעליל. ניתן גם להסיק שיויון זה ישירות מכל אחת מהבנית האלה.

קשיים שמעלה הביטוי ...0.999 בהוראת המתמטיקה

השוויון $0.999\cdots =1$ מעלה מספר קשיים אצל תלמידים רבים:

1. מושג המספר הממשי, הבהתאם מושג הגבול ומושג הפיתוח העשרוני האינסופי, הם מוסגים מסובכים. לרעיה, למרות שבאופן אינטויטיבי המושג היה מוכר לאנשות אלפי שנים, הגדרה פורמלית הופיעה רק במאה ה-19.
2. אגף שמאל של הביטוי הוא אינסופי. אף כתימה שלו לא תיתן בדיוק 1. למעשה גם הסידרה שמתקבלת מהכתימות השונות שלו איננה המספר 1 אלה רק סידרה (אחת מני רבות) שמיתכנסת עליו. המוסכמה ששבר עשרוני אינסופי מיצג את הגבול של הסידרה שמתקבלת מהקטימות השונות שלו היא רב-שלבית מסובכת להבנה.
3. בעוד שהביטוי באגף שמאל מסובך מאוד הביטוי באגף ימין פשוט ביותר. הדבר יוצר בילבול.
4. השיווין נותן 2 דרכים שונות לכתוב את אותו המספר. בפני עצמו הדבר לא אומור להעלות קושי. גם השיוויון $2+3=5$ הוא כזה. אולם $2+3$ איננה דרך "תיקנית" לכתוב את $5$ אלה בטוי חשבוני שנותן את $5$. דוגמאות דומות יותר הן השיווינים ${\frac {2}{2}}=1$ ו- $0=-0$ שגם הם מעלים קשיים מסוימים (אם כי קטנים בהרבה). אחד הדברים שמקל על ההבנה של השיוויון ${\frac {2}{2}}=1$ הוא העובדה שלסימן השבר מלבד היותו חלק מהסימון של מספרים רציונליים יש גם משמעות של חילוק, לכן אפשר להבין גם אותו בתור תואצה של פעולת חילוק ולא רק בתור שתי דרכים שונות לכתוב את 1 כשבר. גם הקשיים הקודמים לא קיימים עבור שיוויון זה. הסיתואציה עם $0=-0$ דומה.

קשיים אלה מושכים תשומת לב רבה לנושא.. כמו כן, הם גורמים mathematical cranks רבים לעסוק בו. אלה מנסים לתת הגדורות אלטרנטיביות ובדרך כלל לא עיקביות ול מנוסחות היטב למספרים הממשיים שבהם השיוויון לא יתקיים. כאמור ניסיונות אלה נדנים לכישלון, אלה אם מבתרים על חלק מהתכנות הבסיסיות של המספרים הממשים והפיתוח העשרוני שלהם.

ראו גם

• מערכות מספרים
• אנליזה לא סטנדרטית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא 0.999... בוויקישיתוף

• sci.math FAQ: Why is 0.9999... = 1?
• גדי אלכסנדרוביץ', ...0.999 שווה 1, באתר "לא מדויק", 7 ביוני 2008
• אלון עמית, טרחנים כפייתיים במתמטיקה, באתר "האייל הקורא"