משפט לקסל

בגאומטריה כדורית, משפט לקסל (באנגלית: Lexell's theorem) הוא תוצאה המאפיינת את המקום הגאומטרי של קודקודי כל המשולשים הכדוריים בעלי בסיס ושטח קבועים. המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הפיני-שוודי אנדרס יוהאן לקסל (1740–1784), מחשובי מפתחי הטריגונומטריה והגאומטריה הכדורית במאה ה-18.

לקסל הציג את המשפט שלו כדוגמה לטענה לא טריוויאלית על עקומים על גבי ספירה דו-ממדית (טענה על מקום גאומטרי), האנלוגית באופן חלקי לטענות 37 ו-39 בספר הראשון של יסודות של אוקלידס. בגאומטריה אוקלידית דו-ממדית (מישורית), בהינתן צלע אחת (נניח AB) של משולש, המקום הגאומטרי של כל הנקודות C כך שלמשולש ABC יהיה שטח השווה לערך נתון מסוים הוא זוג ישרים המקבילים לצלע הבסיס (AB), והנמצאים במרחק ממנה הנקבע על פי היחס בין שטח המשולש לאורכה. משפט לקסל מספק את התשובה לשאלה הזהה עבור המקרה של משולשים כדורים; במקרה זה, המקום הגאומטרי של C יהיה מעגל קטן מסוים, שאינו מצוי במרחק קבוע מן המעגל הגדול שעליו מונחת צלע הבסיס.

המשפט משך תשומת לב מסוימת מכמה מהמתמטיקאים הגדולים של המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19, ביניהם לאונרד אוילר, יאקוב שטיינר, קרל פרידריך גאוס וניקולאי לובצ'בסקי, כולם מתוך שאיפה לפשט במקצת את הטיעון המקורי של לקסל, שעשה שימוש נרחב בנוסחאות מסוימות של טריגונומטריה כדורית הנקראות אנלוגיות נפייר. לובצ'בסקי אף חקר שאלה זהה עבור המישור ההיפרבולי, וגילה שבמקרה זה המקום הגאומטרי המתקבל הוא היפר-מעגל (hypercycle).

בניית המקום הגאומטרי המבוקש

בהינתן נקודות $A,B$ על מעגל גדול, נבנה מעגל גדול נוסף החותך את המעגל הגדול שעליו מונחת הקשת $AB$ בשתי נקודות המרוחקות במידה שווה מנקודת האמצע של הקשת $AB$. כיוון שכך, אם נוריד גבהים $A\alpha$ ו-$B\beta$ מ-A ו-B אל המעגל הגדול הנוסף הזה, אז אורכי הגבהים הללו יהיו זהים. כעת, נבחר כל נקודה $\epsilon$ על המעגל הגדול השני ונמשיך את $A\epsilon$ עד לנקודה $C$ כך ש-$\epsilon$ תהיה אמצע הקשת $AC$. שוב, כתוצאה מאופן בניית המעגל הגדול השני, האנך $C\gamma$ מ-C למעגל הגדול השני יהיה זהה באורכו ל-$A\alpha$ ולפיכך גם ל-$B\beta$. כעת, תהי $\zeta$ נקודת החיתוך של $BC$ עם המעגל הגדול השני. אז, המשולשים הכדוריים $C\gamma \zeta$ ו-$B\beta \zeta$ יהיו חופפים, מה שגורר ש-$\zeta$ היא נקודת האמצע של הקשת $BC$. כעת מכיוון ש-$C\gamma \epsilon$ חופף ל-$A\alpha \epsilon$ ו-$C\gamma \zeta$ חופף ל-$B\beta \zeta$, נובע שלמשולש $ABC$ אותו שטח כמו למרובע הכדורי $AB\beta \alpha$. מכיוון שהשטח של המרובע $AB\beta \alpha$ בלתי תלוי בבחירת $\epsilon$ (זהו מרובע קבוע), נובע שלכל המשולשים הנבנים בדרך הזו יש שטח זהה. אולם מכיוון ש-$C\gamma =A\alpha$ ו-$A\alpha$ קבוע, נובע שהמקום הגאומטרי של הקודקוד השלישי $C$ הוא עקומה שכל נקודה עליה מרוחקת מרחק זהה (השווה ל-$A\alpha$) מן המעגל הגדול השני, וזו הרי ההגדרה של מעגל קטן המצוי במרחק שווה מן המעגל הגדול השני.

נשים לב שכשבנינו את המעגל הגדול השני, יכולנו לעשות זאת באינסוף דרכים שונות; כדי לבדוק איזה מעגל גדול יש לבחור כך ששטח המשולש $ABC$ יהיה שווה לערך המבוקש, אין מנוס מלהיעזר בנוסחאות הטריגונומטריה הכדורית.

מקורות

• "A Most Elegant Property: On the Early History of Lexell’s Theorem"
• "On Lexell's Theorem"

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "משפט לקסל".