עבודה (פיזיקה)

בפיזיקה, עבודה היא כמות האנרגיה שמושקעת בגוף בעל מסה במהלך העתקתו במרחב מנקודת ראשית מוגדרת לנקודת סיום מוגדרת, כתוצאה מהפעלת וקטור כוח שכיוונו מקביל לכיוון תנועת הגוף.

כאשר העתקת הגוף מתבצעת תחת פעולתו של כוח שגודלו קבוע בזמן ולאורך מסלול ישר, העבודה שווה למכפלת הכוח במרחק שבין נקודת הראשית לבין נקודת הסיום:

$W=F_{||}\cdot \Delta r=F\cos \theta \cdot \Delta r$

כאשר האות $F$ מבטאת את גודל הכוח, הסימון $\Delta r$ מבטא את המרחק שלאורכו הכוח פעל על הגוף, והאות $\theta$ מבטאת את הזווית בין כיוון פעולת הכוח לכיוון תנועת הגוף.

עבור מסלול לא ישר או כוח לא קבוע, העבודה מחושבת כך:

$\ W=\int _{\gamma }{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

רכיב כוח הפועל שלא בכיוון תנועת הגוף, לא מבצע עבודה. דוגמאות לרכיבי כוח שאינם בכיוון תנועת הגוף: כוח צנטריפטלי בתנועה מעגלית, כוח נורמלי שמופעל על הגוף על ידי משטח קבוע במקומו שעל גביו נתמך הגוף בתנועתו, או כוח לורנץ שמפעיל שדה מגנטי על חלקיק טעון בניצב לכיוון תנועתו.

יחידות

יחידת המידה לעבודה ביחידות SI היא ג'ול. ג'ול אחד שווה ערך לעבודה של כוח בן ניוטון אחד הפועל בכיוון התנועה לאורך מסלול באורך מטר. בהתאם לכך יחידת מידה זו שווה לניוטון מטר, אך משום שניוטון מטר היא יחידת המידה השימושית למומנט כוח, מחשש לבלבול בלי הקשר, מקובל לא לערבב בין השניים ולהשתמש לעבודה ואנרגיה ביחידה ג'ול.

עוד יחידות שימושיות לעבודה בהקשרים שונים ברחבי העולם הם (לא SI) הן קילוואט-שעה, ארג, כוח סוס-שעה, רגל-פאונד, וקלוריה.

עבודה ואנרגיה

עבודה ואנרגיה קשורות זו בזו: על פי משפט העבודה-אנרגיה, שינוי באנרגיה הקינטית של גוף בתנועה, שווה לעבודה הכוללת שבוצעה על הגוף במהלך תנועה זו (שהיא גם העבודה של הכוח השקול):

$W=\Delta E_{k}=\Delta {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}$

כאשר $v_{i}$ מהירות הגוף בהתחלה, $v_{f}$ מהירות הגוף בסוף, ו-$m$ מסת הגוף.

כאשר הגוף אינו נקודתי (אך בתנאי שהוא צפיד, כלומר, בלי דרגות חופש פנימיות), השינוי באנרגיה הקינטית שלו מתחלק לשינוי באנרגיה הקינטית שקשורה למהירות הקווית של הגוף, ולשינוי באנרגיה הקינטית שקשורה לתדירות סיבוב הגוף סביב עצמו:

$W=\Delta E_{k}=\Delta \left({\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}\right)={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega _{f}^{2}-{\frac {1}{2}}I\omega _{i}^{2}$

כאשר $I$ מומנט ההתמד של הגוף, $\omega _{i}$ תדירות הסיבוב ההתחלתית שלו, ו-$\omega _{f}$ תדירות הסיבוב בגמר השינוי.

את העבודה שמבצע כוח משמר על גוף אפשר לראות כגריעת אנרגיה פוטנציאלית, כלומר כשכוח כזה עושה עבודה חיובית האנרגיה הפוטנציאלית יורדת ואפשר לראות זאת כאילו היא עברה אל האנרגיה הקינטית של הגוף, ולהפך.

$W=-\Delta PE$

הוכחת משפט עבודה-אנרגיה לחלקיק נקודתי

בזמן $dt$ החלקיק מספיק לעשות העתק ששווה ל- $\Delta {\vec {r}}={\vec {v}}dt$, ולכן העבודה שנעשית על הגוף היא $dW={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}dt$ כאשר ${\vec {F}}$ שקול הכוחות הפועל עליו. לכן, סך העבודה שנעשית בין הזמן $t_{1}$ לזמן $t_{2}$ היא $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}\cdot {\vec {v}}dt$ אך לפי החוק השני של ניוטון, ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$. על ידי הצבה נקבל: $W=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot {\vec {v}}dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}{\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}$ משום ש- ${\frac {d}{dt}}{\vec {v}}^{2}=2{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}$ נקבל מהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שהאינטגרל הוא פשוט השינוי בגודל הפונקציה הקדומה ${\frac {1}{2}}v^{2}$ ולכן נקבל $W=\Delta {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}mv_{(t_{2})}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{(t_{1})}^{2}$ נשים לב שהנחנו שהמסה קבועה בזמן (ולכן יצאה כקבוע מהאינטגרל), הנחה שלא נכונה בתורת היחסות (כשהמסה עצמה נהיית תלויה במהירות) ולכן ההוכחה הזו לא תקפה בצורתה הנוכחית וצריך לערוך בה שינויים כדי לקבל את הגרסה הנכונה.

לפי תאוריית הכוח החי (Vis viva) של לייבניץ, הגודל $mv^{2}$ נשמר. למשל אם ניתן למסה $m$ ליפול מרחק $h$ ממנוחה בהשפעת כוח המשיכה (שהוא כוח משמר כפי שהתגלה בהמשך), וניתן למסה $2m$ ליפול מרחק ${\frac {h}{2}}$ גם כן ממנוחה ורק בהשפעת כוח המשיכה, העבודה של כוח המשיכה צריכה להיות זהה בשני המקרים.

מקינמטיקה ידוע כי: $v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x$ ואפשר לראות שהגודל $mv^{2}$ באמת נשמר אם נסתכל על המהירות של שני הגופים לאחר המרחק שהם נפלו: $mv^{2}=2mgh$ $2mv^{2}=2mg{\frac {h}{2}}\Rightarrow 2mv^{2}=2mgh$. קיבלנו ש$mv^{2}=2mgh$ (במסה $m$ כללית) כלומר $mgh={\frac {1}{2}}mv^{2}$.

כח סוס

עבודה ושימור אנרגיה

כאשר הכוחות הפועלים במערכת משמרים, מתקבל ממשפט העבודה-אנרגיה (השינוי באנרגיה הקינטית שווה לעבודה) ומהתכונות של כוח-משמר (השינוי באנרגיה הפוטנציאלית שווה לעבודה בערך שלילי) שסכום האנרגיות (פוטנציאלית וקינטית) במערכת, נשמר.

קישורים חיצוניים

• עבודה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)