משפט בליכפלדט

משפט בליכפלדט, בניסוח שטוען שכל קבוצה בעלת שטח $A$ (כאן אליפסה עם שטח $\pi$) מכילה לפחות $\lceil A\rceil$ (כאן, $\lceil \pi \rceil =4$ נקודות) אשר כולן סוטות זו מזו בוקטור שלם. המשפט מוכח על ידי גזירת כל הריבועים של הסריג והנחתם על ריבוע יחידה יחיד (תוך הזזתם בוקטור שלם), מציאת נקודה בריבוע היחידה הזה הנכללת במספר החתיכות המבוקש, ואז שימוש בקדם-תמונות של הנקודה הזו כנקודות המבוקשות.

משפט בליכפלדט הוא משפט מתמטי בגיאומטריה של מספרים, הקובע שבהינתן קבוצה חסומה בעלת שטח $A$ במישור האוקלידי, ניתן להזיזה כך שהיא תכלול בתוכה לפחות $\lceil A\rceil$ נקודות סריג. באופן שקול, הקבוצה מכילה לפחות $\lceil A\rceil$ נקודות אשר הקואורדינטות שלהן שונות זו מזו בוקטור שלם. המשפט תקף גם לסריגים לא ריבועיים ובממד גבוה יותר, וניתן לפרש אותו כגרסה רציפה של עקרון שובך היונים. הוא נקרא על שם המתמטיקאי הדני-אמריקאי הנס פרדריק בליכפלדט, אשר פירסם אותו ב-1914. מקורות מסוימים מכנים את המשפט עקרון בליכפלדט או למת בליכפלדט.

ניסוח והוכחה

המשפט ניתן לניסוח בצורה הפשוטה ביותר בעבור קבוצת נקודות במישור האוקלידי. בעבור גרסה זו של המשפט, תהי $S$ קבוצה מדידה כלשהי, ויהי $A$ שטחה, אז נעגל את המספר הזה כלפי מעלה אל הערך השלם הקרוב ביותר $n=\lceil A\rceil$ (פונקציית התקרה). משפט בליכפלדט קובע ש-$S$ ניתנת להזזה כך שהעותק המוזז שלה מכיל לפחות $n$ נקודות עם קואורדינטות שלמות.

הרעיון הבסיסי של ההוכחה הוא לחתוך את $S$ לחתיכות על פי הריבועים של הסריג, ואז להזיז את כל אחת מהחתיכות הללו בוקטור שלם כך שהיא תימצא בתוך ריבוע היחידה אשר ראשית הצירים היא הפינה הימנית התחתונה שלו. ההזזה הזו עשויה לגרום לנקודות מסוימות להיות מכוסות יותר מפעם אחת, אך אם מחשבים את סכום השטחים של האיזורים השונים תוך כדי שקלול הריבוי שלהם, אז השטח הכולל של הקבוצה נשאר ללא שינוי, ושווה ל-$A$. כדי להוכיח את המשפט, מספיק להוכיח שיש נקודה עם ריבוי $n$. לשם כך, נניח בשלילה שכל נקודות ריבוע היחידה הן בעלות ריבוי של לכל היותר $n-1$. אם זה כך, פירוש הדבר הוא ששטח הקבוצה הוא לכל היותר $n-1$, פחות מ-$A$. לפיכך, נקודה כלשהי $p$ בריבוע היחידה חייבת להיות מכוסה בריבוי של לפחות $n$. הזזה שתיקח את $p$ לראשית תיקח גם את $n$ הנקודות של $S$ שכיסו את $p$ לנקודות שלמות (נקודות סריג), וזה מה שנדרש.

באופן כללי יותר, המשפט תקף לקבוצות $d$-ממדיות $S$, עם נפח $d$ ממדי $A$, ולסריג $d$-ממדי שרירותי $\Lambda$. בדיוק כשם שסריג היחידה הריבועי מחלק את המישור לריבועי יחידה, סריג שרירותי מחלק את המרחב לתחומים יסודיים (הנקראים מקבילונים יסודיים) עם התכונה שכל אחד מהתחומים האלו ניתן להזזה אל כל אחד מהאחרים על ידי חיבור של וקטור שלם. אם $L$ הוא הנפח ה-$d$-ממדי של המקבילון היסודי, אז משפט בליכפלדט קובע ש-$S$ ניתנת להזזה כך שהיא תכלול לפחות $\lceil A/L\rceil$ נקודות של $\Lambda$.

יישומים

למת מינקובסקי

למת מינקובסקי, שהוכחה מוקדם יותר בהשוואה למשפט בליכפלדט (על ידי הרמן מינקובסקי), קובעת שכל קבוצה קמורה במישור בעלת סימטריה ביחס לראשית, עם שטח גדול מארבע (או קבוצה קומפקטית סימטרית עם שטח שווה בדיוק לארבע) מכילה נקודת סריג שונה מאפס. באופן כללי יותר, קבוצה בעלת סימטריה מרכזית ביחס לראשית ובעלת נפח גדול מ-$2^{d}L$, מכילה נקודת סריג שונה מאפס.

אף על פי שהוכחתו המקורית של מינקובסקי הייתה שונה, בעזרת משפט בליכפלדט ניתן לתת הוכחה קלה ללמת מינקובסקי. תהי $X$ כל קבוצה קמורה בעלת סימטריה מרכזית עם נפח גדול מ-$2^{d}L$. נשנה את קנה המידה של הצורה בפקטור שניים בכל הכיוונים כדי לקבל קבוצה שנסמנה ${\tfrac {1}{2}}X$ שהיא בעלת נפח גדול מ-$L$. לפי משפט בליכפלדט, ${\tfrac {1}{2}}X$ מכילה לפחות שתי נקודות $p$ ו-$q$ אשר הפרש הקואורדינטות שלהן שייך לסריג (כלומר, הוא וקטור שלם). אם נהפוך על פניו את טיעון הכיווץ, אז $2p$ ו-$2q$ שייכים ל-$X$. מהסימטריה המרכזית נובע ש-$-2q$ שייך גם ל-$X$, ומקמירות הקבוצה $X$ נובע שכל מיתר המחבר שתי נקודות בקבוצה מוכל בה במלואו. כיוון שכך, אמצע המיתר המחבר את $2p$ עם $-2q$ משתייך ל-$X$. אבל אמצע מיתר זה הוא הנקודה $-2q+{\frac {1}{2}}(2p-(-2q))=p-q$, ועל פי הגדרת $p$ ו-$q$ (שקיומן נובע ממשפט בליכפלדט), זוהי נקודת סריג.

יישומים אחרים

הדגמה של היתרון של משפט בליכפלדט בהשוואה ללמת מינקובסקי בכל הנוגע למציאת נקודות סריג בתחומים לא קמורים. לתחום הצהוב $Y$ בצד שמאל יש שטח 1, כך שניתן להזיזו כך שיכסה שתי נקודות של כל סריג ששטח התחום היסודי שלוו הוא 1, כמו הסריג האדום. לפיכך התחום הכחול בצד שמאל,$X=Y-Y$, שהוא קבוצת כל ההפרשים בין זוגות נקודות ב-$Y$, מכיל, כאשר הוא ממורכז בראשית, נקודת סריג שונה מאפס. בניגוד לכך, למלבן הכחול $K$ שבצד ימין, שהוא תת-הקבוצה הקמורה הגדולה ביותר של $X$, יש שטח קטן מדי כדי שלמת מינקובסקי תבטיח שהוא יכיל נקודת סריג שונה מאפס, ובדומה לכך המלבן הצהוב ${\tfrac {1}{2}}K$ שבתוכו הוא קטן מדי בשביל שמשפט בליכפלדט יהיה תקף לגביו.

יישומים רבים של משפט בליכפלדט, כגון השימוש בו להוכחת למת מינקובסקי, חותרים למציאת נקודת סריג שונה מאפס בעבור קבוצה גדולה מספיק, אך כזאת שאינה קמורה. בהוכחת למת מינקובסקי, קשר המפתח בין הקבוצות $X$ ו-${\tfrac {1}{2}}X$ אשר גורם להוכחה כולה לעבוד הוא העובדה שכל ההפרשים בין זוגות של נקודות (כלומר ההפרשים בין הוקטורים המתאימים לנקודות) ב-${\tfrac {1}{2}}X$ משתייכים ל-$X$. אף על פי כן, בעבור קבוצה $X$ שאינה קמורה, ייתכן מצב בו ההפרש בין זוג נקודות של ${\tfrac {1}{2}}X$ אינו שייך $X$, מה שהופך את הטכניקה של הוכחת למת מינקובסקי ללא שמישה. ניתן במקום זאת למצוא את תת הקבוצה הקמורה והסימטרית ביחס לראשית הגדולה ביותר $K\subset X$, ואז להפעיל את בלמת מינקובסקי לגבי $K$, או באופן שקול להשתמש במשפט בליכפלדט לגבי ${\tfrac {1}{2}}K$. אף על פי כן, במקרים רבים לקבוצה לא קמורה $X$ יש תת-קבוצה $Y\subset X$ שהיא גדולה יותר מ-${\tfrac {1}{2}}K$, אשר כל ההפרשים בין זוגות נקודות שלה שייכים ל-$X$. כאשר זה המקרה, גודלה הרב יותר של $Y$ בהשוואה ל-${\tfrac {1}{2}}K$ מוביל לחסמים טובים יותר לגבי השאלה כמה גדולה צריכה להיות הקבוצה $X$ כדי להבטיח שהיא תכיל נקודת סריג.

בעבור תחום כוכבי סימטרי ביחס לראשית, ניתן להיעזר בחשבון הוריאציות, כדי למצוא את הקבוצה הגדולה ביותר $X'$ אשר כל ההפרשים בין נקודות שלה שייכים ל-$X$. יישום מעניינים אחד של הטכניקות הללו הוא לבעיה של קירובים דיופנטיים סימולטניים, שנוגעת לשאלה איך לקרב קבוצה של מספרים אי-רציונליים על ידי מספרים רציונליים שלכולם יש מכנה זהה.

הכללות

משפטים אנלוגיים למשפט בליכפלדט הוכחו עבור מבנים גאומטריים אחרים מסריגים, ומראים שתחומים גדולים מספיק מכילים נקודות מהמבנים גם במקרים אלו. אלו כוללים משפטים עבור חבורות פוקסיות, ועבור ריצופים ארכימדיים.

ראו גם

• משפט מינקובסקי
• משפט פיק