פנים (טופולוגיה)

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא, אינטואיטיבית, אוסף הנקודות שנמצאות "עמוק בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה.

הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

• תהא $\!\,A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, $\!\,{\mbox{Int}}(A)$, בתור קבוצת כל הנקודות $\!\,x\in A$ כך שקיימת קבוצה פתוחה $\!\,B$ כך ש$\!\,x\in B\subseteq A$ - כלומר, הקבוצה $\!\,A$ מכילה סביבה של $\!\,x$.

• תהא $\!\,A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב$\!\,A$. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב $\!\,A$.

• תהא $\!\,A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: $\ {\mbox{Int}}(A)=({\overline {A^{c}}})^{c}$

דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור [0,1] בישר הממשי.

$\ [0,1]^{c}=(\infty ,0)\cup (1,\infty )$

$\ {\overline {[0,1]^{c}}}=(\infty ,0]\cup [(1,\infty )$

$\ ({\overline {[0,1]^{c}}})^{c}=(0,1)$

ולכן הפנים של [0,1] הוא הקטע הפתוח (0,1).

תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

• כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: $\!\,A=Int(A)$. בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן $\!\,Int(A)=Int\left(Int(A)\right)$.
• $\!\,A\subseteq B\Rightarrow Int(A)\subseteq Int(B)$.
• $\!\,Int\left(A\cup B\right)\subseteq Int(A)\cup Int(B)$.
• $\!\,Int\left(A\cap B\right)=Int(A)\cap Int(B)$.