החבורה הליניארית הכללית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־16:12, 10 ביוני 2007

בתורת החבורות, החבורה הלינארית הכללית ממעלה n מעל השדה F, היא אוסף המטריצות ההפיכות בעלות n שורות ועמודות שאיבריהן שייכים לשדה F, יחד עם פעולת כפל מטריצות. זוהי חבורה שהאיבר הנייטרלי שלה הוא מטריצת היחידה. זוהי אחת מהחבורות הבסיסיות הנחקרות בתורת החבורות. תת חבורה של החבורה הלינארית הכללית נקראת חבורה לינארית או בפשטות חבורת מטריצות.

באופן שקול, ניתן להגדיר את החבורה לינארית הכללית כאוסף ההעתקות הלינאריות ההפיכות מעל מרחב וקטורי V מממד n מעל השדה F. היות וכל המרחבים הווקטוריים בעלי ממד סופי שווה הם איזומורפיים, ברור שמבנה החבורה אינו תלוי במרחב הווקטורי שלפיו היא הוגדרה. למעשה, באופן הזה מגדירים את החבורה הלינארית הכללית כחבורת האוטומורפיזמים של V בקטגוריה של מרחבים וקטוריים. כאשר משתמשים בהגדרה הראשונה מסמנים את החבורה בדרך כלל $\ GL_{n}(F)$ או (GL(n,F, וכאשר משתמשים בהגדרה השנייה - $\ GL(V)$ .

המאפיינים האלגבריים של אלגברת המטריצות, או לחלופין אלגברת ההעתקות הלינאריות, כגון קיום הדטרמיננטה, מאפשרים להגדיר מספר תתי חבורות באופן טבעי. לדוגמה החבורה הלינארית המיוחדת, $\ SL_{n}(F)$ , היא תת-החבורה של החבורה הלינארית הכללית שמכילה את כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. $\ SL_{n}(F)$ היא תת חבורת הקומוטטורים של $\ GL_{n}(F)$ , והיא בעצמה חבורה מושלמת אלא אם כן n=2 והשדה F הוא בגודל 2 או 3.

החבורה הלינארית הכללית אינה אבלית, כל עוד n איננו 1. כאשר n=1, החבורה הלינארית הכללית היא פשוט החבורה הכפלית של השדה F.

כאשר השדה F מעליו החבורה מוגדרת הוא שדה המספרים הממשיים או המרוכבים (GL(n,F היא חבורת לי מממד n².

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ב[[תורת החבורות]], החבורה הלינארית הכללית ממעלה n מעל ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, היא אוסף ה[[מטריצה הפיכה|מטריצות ההפיכות]] בעלות n שורות ועמודות שאיבריהן שייכים לשדה F, יחד עם פעולת [[כפל מטריצות]]. זוהי [[חבורה]] שהאיבר הנייטרלי שלה הוא מטריצת היחידה. זוהי אחת מהחבורות הבסיסיות הנחקרות בתורת החבורות. [[תת חבורה]] של החבורה הלינארית הכללית נקראת '''חבורה לינארית''' או בפשטות [[חבורת מטריצות]].
-באופן שקול, ניתן להגדיר את החבורה לינארית הכללית כאוסף [[העתקה לינארית|ההעתקות הלינאריות]] ההפיכות מעל [[מרחב וקטורי]] V מממד n מעל השדה F. היות וכל המרחבים הוקטוריים בעלי ממד סופי שווה הם איזומורפיים, ברור שמבנה החבורה אינו תלוי במרחב הוקטורי שלפיו היא הוגדרה. למעשה, באופן הזה מגדירים את החבורה הלינארית הכללית כ[[חבורת אוטומורפיזמים|חבורת האוטומורפיזמים]] של V ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של מרחבים וקטוריים. כאשר משתמשים בהגדרה הראשונה מסמנים את החבורה בדרך כלל <math>\ GL_n (F)</math> או (GL(n,F, וכאשר משתמשים בהגדרה השניה - <math>\ GL(V)</math>.
+באופן שקול, ניתן להגדיר את החבורה לינארית הכללית כאוסף [[העתקה לינארית|ההעתקות הלינאריות]] ההפיכות מעל [[מרחב וקטורי]] V מממד n מעל השדה F. היות וכל המרחבים הווקטוריים בעלי ממד סופי שווה הם איזומורפיים, ברור שמבנה החבורה אינו תלוי במרחב הווקטורי שלפיו היא הוגדרה. למעשה, באופן הזה מגדירים את החבורה הלינארית הכללית כ[[חבורת אוטומורפיזמים|חבורת האוטומורפיזמים]] של V ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של מרחבים וקטוריים. כאשר משתמשים בהגדרה הראשונה מסמנים את החבורה בדרך כלל <math>\ GL_n (F)</math> או (GL(n,F, וכאשר משתמשים בהגדרה השנייה - <math>\ GL(V)</math>.
-המאפיינים האלגבריים של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברת]] המטריצות, או לחלופין אלגברת ההעתקות הלינאריות, כמו לדוגמה קיום ה[[דטרמיננטה]], מאפשרים להגדיר מספר תתי חבורות באופן טבעי. לדוגמה החבורה הלינארית המיוחדת, <math>\ SL_n (F)</math>, היא תת-החבורה של החבורה הלינארית הכללית שמכילה את כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. <math>\ SL_n (F)</math> היא [[תת חבורת הקומוטטורים]] של <math>\ GL_n (F)</math>, והיא בעצמה חבורה מושלמת אלא אם כן n=2 והשדה F הוא בגודל 2 או 3.
+המאפיינים האלגבריים של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברת]] המטריצות, או לחלופין אלגברת ההעתקות הלינאריות, כגון קיום ה[[דטרמיננטה]], מאפשרים להגדיר מספר תתי חבורות באופן טבעי. לדוגמה החבורה הלינארית המיוחדת, <math>\ SL_n (F)</math>, היא תת-החבורה של החבורה הלינארית הכללית שמכילה את כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. <math>\ SL_n (F)</math> היא [[תת חבורת הקומוטטורים]] של <math>\ GL_n (F)</math>, והיא בעצמה חבורה מושלמת אלא אם כן n=2 והשדה F הוא בגודל 2 או 3.
 החבורה הלינארית הכללית אינה [[חבורה אבלית|אבלית]], כל עוד n איננו 1. כאשר n=1, החבורה הלינארית הכללית היא פשוט החבורה הכפלית של השדה F.