בסיס (טופולוגיה)

בטופולוגיה, בסיס ותת-בסיס הן דרכים חסכוניות לתאור המבנה של מרחב טופולוגי. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בדרך של איחוד, ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות האיחוד והחיתוך.

הגדרה

בסיס

בסיס של מרחב טופולוגי $\ (X,\tau )$ הוא אוסף $\ B$ של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, $\ \tau =\{\cup _{b\in I}b|I\subseteq B\}$. מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל $\ x\in X$ ולכל קבוצה פתוחה $\ x\in U$, קיימת קבוצה $\ b\in B$ בבסיס, כך ש- $\ x\in b\subseteq U$.

בסיס נקרא גם מערכת סביבות יסודית.

אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (לאיזושהי טופולוגיה) אם X מכוסה על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות $\ b_{1},b_{2}\in B$ ונקודה בחיתוך $\ x\in b_{1}\cap b_{2}$, קיימת קבוצה $\ b_{3}\in B$ בבסיס, כך ש- $\ x\in b_{3}\subset b_{1}\cap b_{2}$. אם מתקיימות שתי תכונות אלה, אז אוסף האיחודים של קבוצות מן הבסיס מהווה טופולוגיה על X.

תת-בסיס

תת-בסיס של מרחב טופולוגי $\ (X,\tau )$ הוא אוסף $\ S$ של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן איחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ- S.

מושגים קרובים

• מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המנייה השניה, אם יש לו בסיס בן מניה.
• בסיס מקומי: אוסף B של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי היא "בסיס מקומי" סביב הנקודה x, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את x מכילה איבר של B המכיל את x.
• אקסיומת המנייה הראשונה היא התכונה שיש במרחב, סביב כל נקודה, בסיס מקומי בן מניה.

דוגמאות

• במרחב מטרי, אוסף כל הכדורים הפתוחים הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי המטריקה.
• בהישר הממשי, הקבוצה $\ \mathbb {B} =\{(a,\infty )|a\in \mathbb {R} \}$ היא טופולוגיה ובפרט בסיס. לכן, כבסיס לטופולגיה, יוצרת משפחה זו את עצמה.
• במרחב $\mathbb {R}$ עם הטופולוגיה המטרית (המטריקה היא הערך המוחלט) הקבוצה $\ \mathbb {S} =\{(a,\infty ),(-\infty ,b)|a,b\in \mathbb {R} \}$ היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
• הישר של סורגנפריי מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.