החבורה הסימטרית

במתמטיקה, החבורה הסימטרית של קבוצה $\ X$ היא החבורה המכילה את כל הפונקציות החד-חד ערכיות ועל מ-$\ X$ ל- $\ X$, עם פעולת הכפל המוגדרת על-ידי הרכבת פונקציות. מקובל לסמן חבורה זו, שהיא הדוגמא הפשוטה ביותר לחבורת סימטריות, בסימון $\ S_{x}$ או $\ Sym(x)$.

כאשר הקבוצה $\ X$ סופית, ניתן להניח שאבריה הם $\ X=\{1,...,n\}$, ואז מסמנים את חבורת הסימטריות שלה ב ב-$\ S_{n}$. $\ n!$ האיברים של $\ S_{n}$ נקראים תמורות.

הגדרות

חילוף הוא תמורה המחליפה בין מקומותיהם של שני איברים. לדוגמה: החילוף (ab) שם את b במקום של a ואת a במקום של b. מחזור זוהי תמורה אי-זוגית (ראו הרחבה בהמשך).

מחזור (Cycle) מסדר r: הוא תמורה בה r איברים מחליפים ביניהם מקומות בסדר מעגלי. דוגמה: נסתכל במחזור מסדר-3 הבא (abc) במחזור זה האיבר a עובר למקום של b, האיבר b עובר למקום של c ואילו c עובר למקום של a. נשים לב שחילוף הוא מחזור מסדר 2. הזוגיות של מחזור היא הסדר שלו פחות 1. ניתן לכתוב כל תמורה כמכפלה של מחזורים זרים.

רישום תמורות באמצעות מטריצה:
דרך נוספת לרשום תמורות באמצעות מטריצה דו-שורתית עם n עמודות. השורה הראשונה מייצג את המצב ההתחלתי של הרצף (בדרך כלל כשאר כל איבר נמצא במקומו הטבעי [1 ב-1, 2 ב-2 וכו]) ואילו השורה השנייה מצייגת את המצב של האיברים אחרי הפעלת התמורה עליהם. למשל:

$f=(1\ 2\ 3)={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}}$

הוא הייצוג במטריצה של מחזור מסדר-3 על הקבוצה {1,2,3}.

שיטת כתיבה זו מסורבלת למדי ולרוב משתמשים בייצוג בעזרת מחזורים זרים.

דוגמה

יהיו $f=(1\ 3)(2)(4\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{bmatrix}}$

ו- $g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}$

מפעילים את $\ g$ ואז את $\ f$, $\ 1$ עובר ל- $\ 2$ ו- $\ 2$ לעצמו, $\ 2$ ל- $\ 5$ ל- $\ 4$ וכן הלאה מקבלים: $fg=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{bmatrix}}$.

חילופים וסימנים

חילוף היא תמורה שמחליפה שני איברים זה בזה ואת השאר היא משאירה במקום. לדוגמה ב-$\ (1\ 3)(2)(4)(5)$ התמורה $\ S_{x}$ שניתן לכתוב $\ (1\ 3)$ היא היפוך. ניתן להוכיח שכל תמורה יכולה להיכתב כמכפלה של חילופים, $\ g$ מהדוגמה הקודמת תיכתב $\ (1\ 2)(2\ 5)(3\ 4)$.

תמורה שהיא מכפלה של מספר זוגי של חילופים נקראת תמורה זוגית, ואילו תמורה שהיא מכפלה אי-זוגית של חילופים נקראת תמורה אי-זוגית. בדוגמה שלנו $\ g$ היא מכפלה של שלוש חילופים ולכן היא אי-זוגית בעוד $\ f$ היא תמורה זוגית. למרות שההצגה של תמורה בתור מכפלת חילופים אינה יחידה, תמיד ההצגה היא זוגית או אי-זוגית ולכן זה מוגדר היטב.

המכפלה של שתי תמורות זוגיות היא זוגית, שתי אי-זוגיות היא גם זוגית, והמכפלה של תמורה זוגית עם תמורה אי-זוגית היא אי-זוגית.

לכן ניתן להגדיר את הסימן של תמורה $\ f$ כ-$\ sign(f)=+1$ אם התמורה זוגית ו-$\ sign(f)=-1$ אם היא אי-זוגית.

ההעתקה: $\ sign:S_{n}\rightarrow \{+1-1\}:$ המוגדרת היא הומומורפיזם של חבורות ($\ \{+1-1\}$ היא חבורה ביחס לפעולת הכפל). גרעין ההעתקה, כלומר קבוצת התמורות הזוגיות, נקרא חבורת התמורות הזוגיות ומקובל לסמן אותו באות $\ A_{n}$. זוהי תת חבורה נורמלית של $\ S_{n}$ ויש בה בדיוק $\ n!/2$ איברים.

תכונות של החבורות הסימטריות

לכל החבורות הסימטריות (מסדר $\ n>2$) יש מרכז טריוויאלי. למעט החבורה $\ S_{6}$, שיש לה אוטומורפיזם חיצוני, כל האוטומורפיזמים של החבורות $\ S_{n}$ הם פנימיים (כלומר, מושרים על-ידי הצמדה), ולכן החבורות $\ S_{n}$ (כאשר $\ n\neq 2,6$) הן מושלמות.

ראו גם

• סימטריה
• תמורה
• חבורת סימטריות
• דטרמיננטה