חלוקה (תורת הקבוצות)

בתורת הקבוצות, חלוקה (לפעמים נקראת חלוקה זרה) של קבוצה X, היא אוסף של תת קבוצות לא ריקות של X, שהן זרות בזוגות ומכסות את X. באופן פורמלי, אוסף הקבוצות $\ \{A_{\alpha }\}$ הוא חלוקה של $\ X$ אם מתקיים:

• $\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }=X$. כלומר, האיחוד של כל $\ A_{\alpha }$ שווה ל $\ X$. במקרה זה אומרים כי $\ \{A_{\alpha }\}$ מכסה את $\ X$.
• לכל $\ \alpha _{1}\neq \alpha _{2}$ מתקיים $A_{\alpha _{1}}\cap A_{\alpha _{2}}=\emptyset$.
• לכל $\ A_{\alpha }\neq \emptyset ,\alpha$

לעתים לא דורשים כי הקבוצות $\ A_{\alpha }$ תהיינה לא ריקות.

דוגמאות

• קבוצת המספרים הזוגיים וקבוצת המספרים האי זוגיים היא חלוקה של קבוצת המספרים השלמים.
• כל יחס שקילות על קבוצה מסויימת מגדיר עליה חלוקה למחלקות שקילות. הכיוון ההפוך גם נכון: כל חלוקה של קבוצה היא למעשה מחלקות שקילות של יחס שקילות שמוגדר כך שהאיבר a שקול ל-b אם שניהם שייכים לאותה תת קבוצה.
• אם H היא תת חבורה של G, אז המחלקות הימניות או השמאליות של H הן חלוקה של G. אם H תת חבורה נורמלית, איברי החלוקה מהווים חבורה בפני עצמם באופן טבעי.
• לכל קבוצה X קיימות של חלוקות טריוויאליות: החלוקה $\left\{X\right\}$ שמכילה איבר יחיד והוא הקבוצה כולה, והחלוקה $\ \left\{\left\{x\right\}:x\in X\right\}$ - פירוק הקבוצה ליחידונים.

יחס העידון

על אוסף החלוקות של קבוצה X מוגדר יחס סדר חלקי הנקרא "יחס העידון"; חלוקה אחת מעודנת יותר מהשניה אם קבוצותיה מוכלות בקבוצות החלוקה השניה. באופן הזה החלוקה המעודנת יותר היא למעשה איחוד של חלוקות של קבוצות החלוקה הפחות מעודנת. באופן פורמלי, חלוקה $\ P_{1}=\{A_{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ מעודנת יותר מחלוקה $\ P_{2}=\{B_{\beta }\}_{\beta \in J}$ אם לכל $\beta \in J$ קיימת $\alpha \in I$ כך ש- $\ B_{\beta }\subseteq A_{\alpha }$. יחס העידון הופך את אוסף החלוקות של הקבוצה X לסריג שהמינימום והמקסימום שלו הן החלוקות הטריוויאליות.

מספרי בל

מספר החלוקות האפשריות של קבוצה סופית בגודל n, נקרא מספר בל ה-n-י על שם המתמטיקאי האמריקאי אריק טמפל בל, ומסומן $\ B_{n}$.

מספרי בל מקיימים את הנוסחה הרקורסיבית: $B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}$, $\ B_{0}=1$.
הפונקציה היוצרת המעריכית של מספרי בל היא:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}=e^{e^{z}-1}$

חבורה פרימיטיבית

בתורת החבורות, כאשר חבורה פועלת על קבוצה, ניתן לדבר על חלוקות שהן אינווריאנטיות תחת אותה חבורה או אינן. חלוקה $\ \{A_{\alpha }\}$ נקראת G-אינווריאנטית (כאשר G היא החבורה) אם עבור כל איבר מ-G, $\ g\in G$ מתקיים:

$\ \left\{A_{\alpha }\right\}=\left\{gA_{\alpha }\right\}$

$gA_{\alpha }\ =\{g(a):a\in A_{\alpha }\}$

כלומר איברי החבורה לכל היותר מחליפים בין קבוצות החלוקה אך לא לוקחים קבוצה מהחלוקה המקורית לקבוצה שלא נמצאת בחלוקה. חבורות שהחלוקות האינווריאנטיות היחידות שלהן הן החלוקות הטריוויאליות נקראות חבורות פרימיטיביות.