מרחב מכפלה – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Amitayk (שיחה | תרומות)
מ {{טופולוגיה}}
הרחבה קלה
שורה 2: שורה 2:


==הגדרה פורמלית==
==הגדרה פורמלית==
תהיה <math>\left\{X_n\right\}_{n\isin\lambda}</math> משפחה של מרחבים. מכפלתם היא המכפלה הקרטזית שלהם <math>X=\prod_{n \in \Lambda} X_n</math>. עבור כל קוארדינטה <math>\!\, n</math> קיימת פונקצית ההטלה <math>\!\, p_n:X\rarr X_n</math> שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקוארדינטה <math>\!\, n</math> שלה. טופולוגית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציות רציפות]].
תהיה <math>\left\{X_n\right\}_{n\isin\Lambda}</math> משפחה של מרחבים. מכפלתם היא המכפלה הקרטזית שלהם
: <math>X=\prod_{n \in \Lambda} X_n</math>.
עבור כל קוארדינטה <math>\!\, n</math> קיימת פונקצית ההטלה <math>\!\, p_n:X\rarr X_n</math> שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקוארדינטה <math>\!\, n</math> שלה. טופולוגית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציות רציפות]].

ניתן לאפיין בקלות יחסית את [[בסיס לטופולוגיה|תת הבסיס]] של טופולוגיה זו: תת-הבסיס מורכב מ[[מכפלה קרטזית]] של [[קבוצה פתוחה]] <math>\ V_{\n_0}</math> בשאר המרחבים, כלומר: <math>\ U_{n_0} = V_{n_0} \times \prod_{n \ne \n_0} X_n</math>. קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל ע"י לקיחת כל החיתוכים ה'''סופיים''' של קבוצות גליליות.


[[קטגוריה:טופולוגיה]]
[[קטגוריה:טופולוגיה]]
{{טופולוגיה}}
{{טופולוגיה}}

גרסה מ־00:24, 4 במאי 2005

בטופולוגיה, מרחב מכפלה הוא מרחב טופולוגי שהתקבל ממרחבים קיימים על ידי מכפלה קרטזית שלהם. על מרחב המכפלה ניתן להגדיר מספר סוגים שונים של טופולוגיות, והמקובלת ביותר היא הטופולוגיה המכונה "טופולוגיית המכפלה".

הגדרה פורמלית

תהיה משפחה של מרחבים. מכפלתם היא המכפלה הקרטזית שלהם

.

עבור כל קוארדינטה קיימת פונקצית ההטלה שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקוארדינטה שלה. טופולוגית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן פונקציות רציפות.

ניתן לאפיין בקלות יחסית את תת הבסיס של טופולוגיה זו: תת-הבסיס מורכב ממכפלה קרטזית של קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (פונקציה "\n" לא מוכרת): {\displaystyle \ V_{\n_0}} בשאר המרחבים, כלומר: הפענוח נכשל (פונקציה "\n" לא מוכרת): {\displaystyle \ U_{n_0} = V_{n_0} \times \prod_{n \ne \n_0} X_n} . קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל ע"י לקיחת כל החיתוכים הסופיים של קבוצות גליליות.