|
|
שורה 9: |
שורה 9: |
|
</math> |
|
</math> |
|
</center> |
|
</center> |
|
כלומר, מניחים כי ''p/q'' הוא [[שבר (מתמטיקה)|שבר]] מצומצם. |
|
כלומר, מניחים כי <math>\ p/q</math> הוא [[שבר (מתמטיקה)|שבר]] מצומצם. |
|
|
|
|
|
(ב-<math>\,x=0</math> ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם). |
|
(ב-<math>\,x=0</math> ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם). |
שורה 20: |
שורה 20: |
|
|
|
|
|
==הערה על שם הפונקציה== |
|
==הערה על שם הפונקציה== |
|
בספרו של מייזלר "חשבון אינפיניטסימלי" הפונקציה מופיעה כ"פונקציית רימן". שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:
|
|
שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה: |
|
* פונקציית הסרגל |
|
* פונקציית הסרגל |
|
* פונקציית הפופקורן |
|
* פונקציית הפופקורן |
ערך זה עוסק בפונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן). אם התכוונתם לפונקציית זטא של רימן, ראו
פונקציית זטא של רימן.
פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית המוגדרת כדלהלן:
כלומר, מניחים כי הוא שבר מצומצם.
(ב- ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם).
פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
הערה על שם הפונקציה
שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:
- פונקציית הסרגל
- פונקציית הפופקורן
- פונקציית תומה (Thomae's function)
הוכחה
נוכיח כי הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר.
יהי , כאשר שלמים זרים ו-. מכאן ש-. נראה כי אינה רציפה ב-. קבוצת המספרים האי-רציונלים צפופה בישר הממשי, לכן יש סדרה של מספרים אי רציונלים המקיימת . לכל מתקיים , ומכאן , ולכן לפי הגדרת הרציפות לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-.
כעת נניח ש- מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- . נשתמש בהגדרת הרציפות לפי קושי. יהי . יש למצוא כך שאם אזי . קיים שלם כך ש-. נסמן (פונקציית העצרת). מכיוון ש- אינו רציונלי, קיים כך שהמרחק מ- לכל שבר מהצורה עם שלם, גדול מ-. יהי המקיים . ייתכנו שתי אפשרויות:
- ואז , ומכאן .
- הוא שבר מצומצם שמרחקו מ- קטן מ-, אז לא יכול לחלק את , ולכן ו-, כלומר, אם אזי , כדרוש.
כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם אזי , ומכאן ש- רציפה ב-.
ראו גם