מרחב מכפלה

בטופולוגיה, מרחב מכפלה הוא מרחב טופולוגי שהתקבל ממרחבים קיימים על ידי מכפלה קרטזית שלהם. על מרחב המכפלה ניתן להגדיר מספר סוגים שונים של טופולוגיות, והמקובלת ביותר היא הטופולוגיה המכונה "טופולוגיית המכפלה".

הגדרה פורמלית

תהיה $\left\{X_{n}\right\}_{n\in \Lambda }$ משפחה של מרחבים. מכפלתם היא המכפלה הקרטזית שלהם

$X=\prod _{n\in \Lambda }X_{n}$.

עבור כל קוארדינטה $\!\,n$ קיימת פונקציית ההטלה $\!\,p_{n}:X\rightarrow X_{n}$ שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקוארדינטה $\!\,n$ שלה. טופולוגית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן פונקציות רציפות.

ניתן לאפיין בקלות יחסית את תת הבסיס של טופולוגיה זו: תת-הבסיס מורכב ממכפלה קרטזית של קבוצה פתוחה $\ V_{N}\subset X_{N}$ בשאר המרחבים. כלומר, $\ U_{N}=V_{N}\times \prod _{n\neq N}X_{n}$. קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל על ידי לקיחת כל החיתוכים הסופיים של קבוצות גליליות. כלומר, אם קבוצה היא פתוחה במרחב המכפלה אז ההטלה שלה לכל קוארדינטה היא פתוחה, וההטלה שלה לכמעט כל המרחבים היא המרחב כולו. יש לציין כי כאשר המכפלה היא סופית, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה ה"נאיבית" של טופולוגיית המכפלה, שבה תת הבסיס הוא קבוצות גליליות, ואם קבוצה היא פתוחה אז ההטלה שלה לכל מרחב היא פתוחה. כדאי לשים לב כי גרירה זו נכונה רק בכיוון אחד - גם אם כל ההטלות של קבוצה לכל המרחבים היא פתוחה, אין זה אומר שהקבוצה היא פתוחה.

כדאי לשים לב גם כי ההטלות הן תמיד העקתות פתוחות. כלומר, הטלה של כל קבוצה פתוחה לכל תת מרחב היא פתוחה. ההעתקות, לא חייבות להיות סגורות - ניתן לקחת כדוגמא נגדית פשוטה את ההטלה של גרף פונקציה ההפכית: $\ \{(x,{\frac {1}{x}})|x\neq 0\}\subset \mathbb {R} ^{2}$. הגרף סגור ב $\mathbb {R} ^{2}$ (קל לראות כי המשלים שלו פתוח) אך ההטלה של גרף זה לכל אחד מהצירים הוא הישר כולו פרט לאפס, וזו כמובן אינה קבוצה סגורה.

התכונה האוניברסלית של מרחבי מכפלה

ניתן לאפיין מרחבי מכפלה גם בצורה הבאה:

אם $\ Y$ הוא מרחב טופולוגי, ולכל $\ n$ ההטלה $\ p_{n}:Y\to X_{n}$ היא רציפה, אז קיימת העתקה רציפה יחידה, $\ f:Y\to X$ כך שלכל $\ n$ מתקיים כי $\ f_{n}=p_{n}\circ f$.

תכונות נשמרות

אומרים על תכונה שהיא נשמרת תחת מכפלה אם מתקיים שלכל אוסף של מרחבים $\ X_{n}$ המקיימים את התכונה, גם מרחב המכפלה </math> \prod X_n</math> מקיים את התכונה.

אקסיומות ההפרדה

תכונות נשמרות:

• $\ T_{0}$
• $\ T_{1}$
• $\ T_{2}$ (האוסדורף)
• $\ T_{3{\frac {1}{2}}}$ (טיכונוף)
• רגולריות

לעומת זאת, נורמליות לא בהכרח נשמרת תחת מכפלה.

קומפקטיות

משפט טיכונוף מראה כי מכפלה כלשהי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית. לעומת זאת, מכפלה של מרחבים קומפטיים מקומית אינה בהכרח קומפקטית מקומית.

קשירות

קשירות היא תכונה נשמרת תחת מכפלות.

טופולוגיית הקופסאות

ניתן גם להגדיר טופולוגיה שונה על מרחב מכפלה, שבסיסה הוא אוסף המכפלות של קבוצות פתוחות ב $\ X_{n}$. זוהי טופולוגיה עדינה יותר מטופולוגיית המכפלה, והיא פחות נפוצה. כמובן שכאשר מדובר בטופולוגיית הקופסאות, חלק מן הטענות האמורות בערך זה (כגון משפט טיכונוף, או שימור של אקסיומות הפרדה) אינן תקפות.

תבנית:נ