בעיית בזל

בעיית בזל היא בעיה מפורסמת בתורת המספרים, שהוצגה לראשונה בשנת 1644, ונפתרה על ידי לאונרד אוילר בשנת 1735. כיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח נסיונות מתמשכים של המתמטיקאים המובילים באותה תקופה, פרסום פתרונו של אוילר, כאשר היה בן 28, הביא לו תהילה מיידית. אוילר הכליל את הבעייה באמצעות פונקציית זטא ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה לברנרד רימן, אשר בעבודתו משנת 1859 הגדיר את פונקציית זטא של רימן והוכיח את תכונותיה הבסיסיות. הבעיה נקראת על שם בזל, עירו של אוילר כמו גם של בני משפחת ברנולי, שלא הצליחו לפתור את הבעיה.

בעיית בזל היא מציאת שיטה לחישוב סכום הטור האינסופי של הערכים ההופכיים של ריבועי המספרים הטבעיים, כלומר: ? = $\sum _{k=1}^{\infty }1/k^{2}$. סכום טור זה שווה בקירוב ל- 1.644934. בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של סכום הטור, כלומר להוכחה לגודלו של סכום זה. אוילר הוכיח שהסכום המדויק הוא $\,{\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ופרסם את התגלית הזו בשנת 1735. ההוכחה שלו התבססה על שיטות שלא נראו עד אז.

פתרונו של אוילר

פתרונו של אוילר לבעיה הוא מקורי ומבריק. הוא תקף את הבעיה מנקודת מבט שונה לגמרי ממה שנראה עד אז. טיעונו של אוילר הוא כזה: נפתח את טור טיילור של הפונקציה $\ \sin x$ ונקבל:

$\,\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots$

נחלק ב-x ונקבל:

$\,{\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\dots$

כעת, פונקציה זו מתאפסת בנקודות מהצורה $\,n\cdot \pi$ כאשר $\,n=\pm 1\pm 2\pm 3\dots$. נניח, לפיכך, כי ניתן, בדומה לפולינומים להביע את $\,\sin x/x$ כמכפלת האפסים שלה:

${\frac {\sin(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots$

$=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots .$

כעת, אם נכפול בצורה פורמלית ביטוי זה, ונאסוף את המקדמים של $\,x^{2}$, נקבל כי המקדם של $\,x^{2}$ ב-$\,\sin x/x$ הוא

$-\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

אך מטור טיילור של $\,\sin x/x$, אנו יודעים כי המקדם של $\,x^{2}$ הוא $\,-1/3!=-1/6$. אך שני מקדמים אלו חייבים להיות שווים זה לזה, ולפיכך

$-{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

ועל ידי הכפלת שני האגפים ב −π² נקבל את הדרוש.

פתרון באמצעות אנליזה הרמונית

את הבעיה אפשר לפתור כמקרה פרטי של טור פורייה: פיתוח פונקציה מחזורית בקטע לטור של סינוסים וקוסינוסים.

תהי $\ f$ פונקציית הזהות $\ f(x)=x$ בקטע $\ [-\pi ,\pi ]$. כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זה הפונקציה איננה רציפה ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.

נחשב את מקדמי פורייה שלה. מאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של הקוסינוסים מתאפסים ורק מקדמי הסינוסים נשארים (זאת מאחר שהסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).

לכן,

$a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xdx=0$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)dx=0$

כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)dx=$

$={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }x\sin(nx)dx={\frac {2}{\pi }}\left(\left[-{\frac {x\cos(nx)}{n}}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right]_{0}^{\pi }\right)=(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}$

בסך הכל, טור פורייה של x הוא

$f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))=$

$=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )$

כעת נשתמש בזהות פרסבל

${\frac {a_{0}^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}dx$.

כדי לקבל ש

${\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\frac {1}{\pi }}{\frac {\pi ^{3}}{3}}$

נחלק ב-2 את הביטוי ונצמצם את פאי באגף הימני ונקבל

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

כמבוקש.