טופולוגיה דיסקרטית

בטופולוגיה, הטופולוגיה הדיסקרטית על קבוצה $\ X$, היא טופולוגיה מנוונת במיוחד, המוגדרת כך שכל הקבוצות יהיו פתוחות. במרחב כזה כל נקודה מהווה מרכיב קשירות. את הטופולוגיה הדיסקרטית אפשר להגדיר באמצעות מטריקה מתאימה, הקרויה המטריקה הדיסקרטית: תחת מטריקה זו, המרחק בין כל שתי נקודות קבוע.

עבור כמעט כל התכונות הטופולוגיות קל לקבוע האם המרחב הדיסקרטי מקיים אותן, אם לאו. למשל, הטופולוגיה הדיסקרטית מקיימת את כל אקסיומות ההפרדה; היא קומפקטית בדיוק כאשר המרחב סופי. בין השימושים בטופולוגיה הדיסקרטית אפשר למנות את הנוכחות שלה בהגדרת טופולוגיות חשובות על מרחבים אחרים; לדוגמה, את טופולוגית זריצקי אפשר להגדיר על יריעה אלגברית על-פי הדרישה שכל פונקציה פולינומית תהיה רציפה, וזאת ביחס לטופולוגיה הדיסקרטית של שדה הבסיס. הגדרה זו מאפיינת את הקבוצות הסגורות של הטופולוגיה, בתור קבוצות האפסים המשותפים של משפחה של משוואות פולינומיות.

הטופולוגיה הדיסקרטית היא דוגמה קיצונית אחת למרחב טופולוגי. בעבר השני מצויה הטופולוגיה הטריוויאלית, שבה רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הן קבוצות פתוחות. מנקודת מבט טופולוגית, במרחב כזה לא ניתן להבדיל בין הנקודות השונות כלל. תבנית:נ