בסיס (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות
מ בוט החלפות: שנייה; |
תיקון קישור לדף פירושונים |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
ב[[טופולוגיה]], '''בסיס''' ו'''תת-בסיס''' הן דרכים חסכוניות לתאור המבנה של [[מרחב טופולוגי]]. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את ה[[קבוצה פתוחה|קבוצות הפתוחות]] בדרך של [[איחוד]], ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות ה[[איחוד]] וה[[חיתוך]]. |
ב[[טופולוגיה]], '''בסיס''' ו'''תת-בסיס''' הן דרכים חסכוניות לתאור המבנה של [[מרחב טופולוגי]]. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את ה[[קבוצה פתוחה|קבוצות הפתוחות]] בדרך של [[איחוד]], ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות ה[[איחוד]] וה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]]. |
||
== הגדרה == |
== הגדרה == |
גרסה מ־05:11, 23 באוקטובר 2007
בטופולוגיה, בסיס ותת-בסיס הן דרכים חסכוניות לתאור המבנה של מרחב טופולוגי. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בדרך של איחוד, ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות האיחוד והחיתוך.
הגדרה
בסיס
בסיס של מרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, . מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל ולכל קבוצה פתוחה , קיימת קבוצה בבסיס, כך ש- .
ניתן לאפיין בסיס בצורה שקולה: אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (לטופולוגיה כלשהי) אם ורק אם X מכוסה על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות ונקודה בחיתוך , קיימת קבוצה בבסיס, כך ש- . כאמור, הגדרה זו גוררת את ההגדרה הראשונה, ולהיפך. יתרונה של הגדרה זו היא שקל לבדוק שהיא אכן מתקיימת לאוסף נתון של קבוצות. לדוגמה, קל לראות כי אוסף הקטעים הפתוחים עם נקודות קצה רציונליות מהווה בסיס לטופולוגיה הסטנדרטית על הישר הממשי.
בסיס נקרא לפעמים גם מערכת סביבות יסודית.
תת-בסיס
תת-בסיס של מרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן איחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ- S.
מושגים קרובים
- מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המנייה השנייה, אם יש לו בסיס בן מניה.
- בסיס מקומי: אוסף B של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי היא "בסיס מקומי" סביב הנקודה x, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את x מכילה איבר של B המכיל את x.
- אקסיומת המנייה הראשונה היא התכונה שיש במרחב, סביב כל נקודה, בסיס מקומי בן מניה.
דוגמאות
- במרחב מטרי, אוסף כל הכדורים הפתוחים הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי המטריקה.
- בהישר הממשי, הקבוצה היא טופולוגיה ובפרט בסיס. לכן, כבסיס לטופולגיה, יוצרת משפחה זו את עצמה.
- במרחב עם הטופולוגיה המטרית (המטריקה היא הערך המוחלט) הקבוצה היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
- הישר של סורגנפריי מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.