תנאי שפה

תנאי שפה הם נתונים שמאפשרים הפיכת פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית (רגילה או חלקית) לפתרון מסוים. התנאים הם ערכי פונקציות והנגזרות השונות שלהן, בנקודות מסוימות בזמן ובמרחב. אוסף הנקודות האלה הוא השפה. כאשר המשוואות הדיפרנציאליות הן ייצוג של בעיה פיזיקלית כלשהי, תנאי השפה הם חלק מהותי מהבעיה וידיעתם חיונית לפתרון. דוגמה לבעיה כזו היא חישוב פוטנציאל חשמלי, משוואת הגלים, ועוד. ללא תנאי השפה ניתן להגיע לפתרון כללי בלבד (כאלה יש אינסוף), אולם לא לפתרון ספציפי לבעיה. במקרה שתנאי השפה נתונים לרגע $\ t=0$, קוראים לתנאים תנאי התחלה.

תנאי השפה מתחלקים לשני סוגים עיקריים:

1. תנאי דיריכלה - כאשר נתון ערכה של הפונקצייה על השפה
2. תנאי ניומן - כאשר נתון ערכה של נגזרת הפונקצייה על השפה

דוגמה חשובה לבעיה עם תנאי שפה היא משוואת הגלים. בשלושה ממדים המשוואה הדיפרנציאלית היא:

$\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (t,{\vec {r}})-c^{2}\ \nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})=0$

פתרונה הכללי של משוואה זו הוא גל כלשהו, אך כדי לדעת אם זהו, למשל, גל מישורי או כדורי, נדרשת ידיעת תנאי השפה. נתונים אלה יכתיבו את הפתרון המסוים לבעיה הנתונה.

דוגמה פשוטה יותר היא משוואת הגלים החד ממדית המייצגת הפרעה המתקדמת במיתר: $\ u_{tt}-c^{2}u_{xx}=G(x)$

ללא תנאי שפה נוכל לקבל פתרון כללי בלבד:

$\ \psi (x,t)=F(x-vt)+G(x+vt)$

ידיעת המערכת הפיזיקלית המתאימה מאפשרת לקבוע את תנאי השפה המתאימים: למשל, אם המיתר אחוז בשני קצותיו, הכרחי שאמפליטודת ההפרעה היא תמיד אפס בשני הקצוות. זהו מקרה של תנאי דיריכלה הומוגני (הפונקצייה מתאפסת על שפת התחום) נוכל לקבל פתרון מהצורה:

$\ \psi _{k}(x,t)=a_{k}e^{i(\omega t-kx)}+b_{k}e^{i(\omega t+kx)}$