תת-חבורת הקומוטטורים – הבדלי גרסאות
מאין תקציר עריכה |
|||
שורה 14: | שורה 14: | ||
==תכונות== |
==תכונות== |
||
תת-חבורת הקומוטטורים היא ה[[תת חבורה נורמלית|תת-חבורה הנורמלית]] הקטנה ביותר כך ש[[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>\ G/G'</math> היא [[חבורה אבלית|אבלית]]: לכל תת-חבורה נורמלית N של G, המנה <math>\ G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>\ G' \subseteq N</math>. |
תת-חבורת הקומוטטורים היא ה[[תת חבורה נורמלית|תת-חבורה הנורמלית]] הקטנה ביותר כך ש[[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>\ G/G'</math> היא [[חבורה אבלית|אבלית]]: לכל תת-חבורה נורמלית N של G, המנה <math>\ G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>\ G' \subseteq N</math>. חבורת המנה <math>\ G/G'</math> נקראת ה'''אבליניזציה''' של G. |
||
מכיוון ש[[הומומורפיזם (אלגברה)#הומומורפיזם בין חבורות|הומומורפיזם]] <math>\ f : G \to H</math> מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה <math>\ f(G')\subset H'</math>. עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- <math>\ [A/N,B/N]=[A,B]N/N</math> ובפרט <math>\ (G/N)'=G'N/N</math>. |
מכיוון ש[[הומומורפיזם (אלגברה)#הומומורפיזם בין חבורות|הומומורפיזם]] <math>\ f : G \to H</math> מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה <math>\ f(G')\subset H'</math>. עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- <math>\ [A/N,B/N]=[A,B]N/N</math> ובפרט <math>\ (G/N)'=G'N/N</math>. |
גרסה מ־14:09, 22 ביוני 2008
במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים של חבורה היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של אברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.
הגדרה
הקומוטטור של שני אברים g,h בחבורה G הוא, לפי ההגדרה, האיבר . תת-חבורת הקומוטטורים של היא החבורה הנוצרת על ידי כל האברים האלה, כלומר, .
את החבורה המתקבלת מסמנים , או . הסימון האחרון מאפשר הכללה: אם תת-חבורות נורמליות של G, אז היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים עבור ; גם זו תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- A וב- B.
כעת אפשר להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: , ולכל n,
.
אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון
נקראת חבורה מושלמת.
לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, , בעוד ש- מושלמת לכל (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).
תכונות
תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה היא אבלית: לכל תת-חבורה נורמלית N של G, המנה אבלית אם ורק אם . חבורת המנה נקראת האבליניזציה של G.
מכיוון שהומומורפיזם מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה . עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- ובפרט .
ידוע שכל איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא "קומוטטור ארוך", מן הצורה , אם כי בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה.
תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות A,B,C של G, .
השערת Ore
בחבורה פשוטה שאינה קומוטטיבית, כל איבר שייך לתת-חבורת הקומוטטורים, ולכן הוא מכפלה של קומוטטורים. המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות . מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורה מטיפוס לי , עבור . הבעיה עדיין פתוחה עבור חבורות מטיפוס לי מעל שדות קטנים.
ראו גם
אלגברה מופשטת | ||
---|---|---|
ענפים | אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות | |
מבנים אלגבריים | מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית | |
מושגי יסוד | הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית |