מכפלה קרטזית – הבדלי גרסאות
מ בוט מוסיף: ca:Producte cartesià |
SilvonenBot (שיחה | תרומות) מ בוט מוסיף: ar:جداء ديكارتي |
||
שורה 39: | שורה 39: | ||
[[en:Cartesian product]] |
[[en:Cartesian product]] |
||
[[ar:جداء ديكارتي]] |
|||
[[be-x-old:Дэкартавы здабытак]] |
[[be-x-old:Дэкартавы здабытак]] |
||
[[bg:Декартово произведение]] |
[[bg:Декартово произведение]] |
גרסה מ־11:57, 25 ביולי 2008
בערך זה |
בתורת הקבוצות ובמתמטיקה בכלל, מכפלה קרטזית היא פעולה על קבוצות שיוצרת מהן קבוצות חדשות שבהן יש חשיבות לסדר האיברים. המכפלה נקראת קרטזית לכבוד רנה דקארט (ששמו הלטיני הוא רנאטוס קרטזיוס) שהגדיר את המישור האוקלידי כקבוצת כל הזוגות הסדורים של מספרים ממשיים- ובכך יצר את תחום הגאומטריה האנליטית.
במקרה הפרטי שבו יש שתי קבוצות, A ו-B, המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת A×B והיא קבוצת כל הזוגות הסדורים האפשריים, כשבכל זוג האיבר הראשון שייך ל-A והאיבר השני שייך ל-B.
לדוגמה: אם קבוצה X מכילה 13 איברים של ערכי קלפים { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } וקבוצה Y מכילה 4 איברים של סוג הקלף {♠, ♥, ♦, ♣}, אזי המכפלה הקרטזית של שתי הקבוצות היא קבוצת קלפי המשחק המוכרת לנו, בעלת 52 האיברים { (♣ ,A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2) }.
באותה הדרך, אם נסתכל על n קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן תיתן קבוצה של n-יות המוגדרת כך:
בצורה פורמלית, נוכל להגדיר מכפלה קרטזית של כל משפחה (גם אינסופית) של קבוצות באמצעות קבוצת פונקציות שמוגדרת כך:
. כאן היא קבוצה של אינדקסים (דהיינו - לכל איבר בקבוצת האינדקסים מתאימה קבוצה אחת מתוך הקבוצות המוכפלות). האיברים של המכפלה הן פונקציות, כך שכל פונקציה מייצגת "נקודה" במכפלה. הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק הערכים שמחזירה הפונקציה. הדרישה על הפונקציות הללו היא שלכל קוארדינטה, הפונקציה תחזיר ערכים השייכים רק לקבוצה שאותה מייצגת הקוארדינטה.
אקסיומת הבחירה היא הקביעה שאם היא קבוצה של אינדקסים ולכל הקבוצה לא ריקה, אז המכפלה הקרטזית לא ריקה.
דוגמאות
- המרחב הוא מכפלה קרטזית של פעמים הישר הממשי . בכתיב פורמלי: (זו גם הסיבה שבגללה כותבים את בחזקת ).
- כל וקטור במרחב זה הוא n-יה סדורה . על פי ההגדרה הפורמלית שניתנה לעיל, כל וקטור הוא פונקציה כאשר . עבור נקודה כלשהי במרחב, הפונקציה המתאימה לה היא זו המקיימת .
- נביט בקבוצות כאשר . המכפלה היא קבוצת הפונקציות המקיימות .
ראו עוד
נושאים בתורת הקבוצות | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף | |
משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
שונות | הפרדוקס של ראסל |