עקביות (לוגיקה) – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קישוריים
ט-בוט-זרם (שיחה | תרומות)
מ משנה: en:Consistency
שורה 13: שורה 13:
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]


[[en:Consistency proof]]
[[en:Consistency]]
[[de:Widerspruchsfreiheit]]
[[de:Widerspruchsfreiheit]]
[[ru:Непротиворечивость]]
[[ru:Непротиворечивость]]

גרסה מ־19:17, 2 באוגוסט 2008

עקביות (או קונסיסטנטיות, קוהרנטיות) הוא מושג בלוגיקה ובמתמטיקה המציין שמערכת מסוימת היא נטולת סתירות. בלוגיקה מתמטית, תורה עקבית היא כזו שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה והיפוכה. בתורות לא עקביות אפשר להוכיח כל טענה (משום שמהנחות שקריות נובעת כל מסקנה שהיא), ולכן נחשבת עקביות למעלה הכרחית בכל תורה המכבדת את עצמה.

כדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא מודל שמקיים את כל האקסיומות של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח עקביות יחסית - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור גאומטריות שונות (למשל, שתי הגרסאות הלא אוקלידיות של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות לתורת הקבוצות.

עם זאת, ישנן מערכות אקסיומות עקביות שאין להן מודל. כדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר. משפט אי השלמות השני של גדל קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה אריתמטית ואפקטיבית (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.

ראו גם