פונקציה קעורה

דוגמה ויזואלית

במתמטיקה, פונקציה קעורה בקטע מסוים הינה פונקציה אשר עבור כל שתי נקודות באותו הקטע, הישר המחבר בין שתי הנקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.

הגדרה

הגדרה: תהא $\ f(x)$ פונקציה המוגדרת בקטע $\left[a,b\right]$. הפונקציה תקרא קעורה בקטע אם עבור כל $\!\,x,y\in [a,b]$ וכל $\!\,0\leq \lambda \leq 1$ מתקיים אי השוויון $\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\leq f(\lambda x+(1-\lambda )y)$.

הגדרה שקולה: $\ f(x)$ היא קעורה אם $\ -f(x)$ היא קמורה.

אם $\,f$ גזירה בקטע פתוח, אזי $\,f$ קעורה בו אם ורק אם הנגזרת $\,f'$ היא פונקציה מונוטונית יורדת.

אם הפונקציה גזירה פעמיים בקטע, ניתן לזהות קעירות באמצעות הנגזרת השנייה שלה - אם הנגזרת השנייה אי חיובית בכל הקטע, הפונקציה קעורה בו.

פונקציות לינאריות

פונקציה לינארית נחשבת קעורה וקמורה בעת ובעונה אחת, בגלל אי־השוויון החלש ($\leq$ ו־$\geq$). פיתוח של הגדרת הקמירות או הקעירות, כאשר הפונקציה המדוברת היא לינארית, מוביל לשוויון ממש בין שני האגפים.

ראו גם

• פונקציה קמורה