מרכז (תורת החוגים) – הבדלי גרסאות
טוסברהינדי (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
בקיצור |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
ב[[מתמטיקה]], ה'''מרכז''' של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] נתון הוא תת-חוג, הכולל את האברים המתחלפים עם כל איבר אחר. מקובל לסמן את המרכז של R באות <math>\ Z(R)</math>. המרכז הוא תת-חוג קומוטטיבי, אבל בדרך כלל הוא איננו תת-החוג הקומוטטיבי הגדול ביותר שיש לחוג. |
|||
{{לאחד לתוך|מרכז (תורת החבורות)}} |
|||
==הגדרה== |
|||
התפקיד העיקרי של המרכז בתורת החוגים הוא להכניס שיטות קומוטטיביות לסיטואציה שהיא בדרך כלל לא קומוטטיבית, ולכן מסובכת בהרבה. המרכז של חוג כולל לפחות את איבר היחידה, ולכן אפשר לראות את החוג כ[[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מעל המרכז שלו (במובן הרחב של המושג - המרכז אינו חייב להיות שדה). בפרט, המרכז של [[חוג פשוט]] הוא שדה, וכך הופך החוג לאלגברה במובן המצומצם והמקובל יותר של המלה. את ה"מרחק" מן האלגברה למרכז שלה אפשר למדוד בכלים הסטנדרטיים: ה[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] (או ה[[דרגה של מודול|דרגה]], כאשר המרכז אינו שדה), ובמקרה שהממד אינסופי, גם [[ממד גלפנד-קירילוב]]. ידוע שכל אלגברה בעלת ממד גלפנד-קירילוב 1 היא "כמעט קומוטטיבית", בהיותה בעלת דרגה סופית מעל המרכז שלה. |
|||
ב[[מתמטיקה]] '''המרכז של חוג''' הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|תת חוג]] של חוג נתון, המקיים בנוסף את הדרישה שכל איבר בוא מתחלף אם כל איבר אחר. מרכז זה מסומן ב<math>\ Z(R)</math> כאשר <math>\ R</math> הוא החוג הנתון. המרכז של חוג הינו התת-חוג ה[[חילופיות|קומוטטיבי(חילופי)]] הגדול ביותר שיש לחוג. |
|||
: <math>\ Z(R)=\{z\in R| rz=zr\ \forall r\in R\} </math>. |
|||
אם R חוג קומוטטיבי, אזי המרכז שלו זה כל החוג. |
|||
==תכונות== |
==תכונות== |
||
#כל חוג הינו [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מעל המרכז שלו |
#כל חוג הינו [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מעל המרכז שלו. |
||
{{קצרמר|מתמטיקה}} |
|||
[[קטגוריה:תורת החוגים]] |
|||
[[en:center (ring theory(]] |
|||
גרסה מ־10:16, 23 באוקטובר 2008
במתמטיקה, המרכז של חוג נתון הוא תת-חוג, הכולל את האברים המתחלפים עם כל איבר אחר. מקובל לסמן את המרכז של R באות . המרכז הוא תת-חוג קומוטטיבי, אבל בדרך כלל הוא איננו תת-החוג הקומוטטיבי הגדול ביותר שיש לחוג.
התפקיד העיקרי של המרכז בתורת החוגים הוא להכניס שיטות קומוטטיביות לסיטואציה שהיא בדרך כלל לא קומוטטיבית, ולכן מסובכת בהרבה. המרכז של חוג כולל לפחות את איבר היחידה, ולכן אפשר לראות את החוג כאלגברה מעל המרכז שלו (במובן הרחב של המושג - המרכז אינו חייב להיות שדה). בפרט, המרכז של חוג פשוט הוא שדה, וכך הופך החוג לאלגברה במובן המצומצם והמקובל יותר של המלה. את ה"מרחק" מן האלגברה למרכז שלה אפשר למדוד בכלים הסטנדרטיים: הממד (או הדרגה, כאשר המרכז אינו שדה), ובמקרה שהממד אינסופי, גם ממד גלפנד-קירילוב. ידוע שכל אלגברה בעלת ממד גלפנד-קירילוב 1 היא "כמעט קומוטטיבית", בהיותה בעלת דרגה סופית מעל המרכז שלה.
תכונות
- כל חוג הינו אלגברה מעל המרכז שלו.