חבורה למחצה – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
ב[[אלגברה מופשטת]], '''חבורה למחצה''' היא [[מבנה אלגברי]] הכולל קבוצה ו[[פעולה בינארית]] [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]]. חבורה למחצה שיש לה, בנוסף, [[איבר יחידה]], היא [[מונואיד (מבנה אלגברי)|מונואיד]].
ב[[אלגברה מופשטת]], '''חבורה למחצה''' (נקראת גם: '''אגודה''') היא [[מבנה אלגברי]] הכולל קבוצה ו[[פעולה בינארית]] [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]]. חבורה למחצה שיש לה, בנוסף, [[איבר יחידה]], היא [[מונואיד (מבנה אלגברי)|מונואיד]].


== דוגמאות ==
== דוגמאות ==

גרסה מ־02:16, 18 בפברואר 2009

באלגברה מופשטת, חבורה למחצה (נקראת גם: אגודה) היא מבנה אלגברי הכולל קבוצה ופעולה בינארית אסוציאטיבית. חבורה למחצה שיש לה, בנוסף, איבר יחידה, היא מונואיד.

דוגמאות

חבורות למחצה מסתתרות בתוך מבנים אלגבריים מסוגים שונים: כל מונואיד הוא חבורה למחצה, ובפרט, כל חבורה היא חבורה למחצה. אוסף האיברים בחוג הוא חבורה למחצה (ביחס לפעולת הכפל), גם כאשר זהו חוג בלי יחידה. כל אידאל בחוג הוא חבורה למחצה (ביחס לכפל).

איברים מיוחדים

אידמפוטנטים

איבר בחבורה למחצה, המקיים את הזהות , נקרא אידמפוטנט. בחבורה יש רק אידמפוטנט אחד (הלא הוא איבר היחידה), אבל בחבורות למחצה יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, ואפשר ללמוד מהם רבות על המבנה שלה. את אוסף האידמפוטנטים בחבורה-למחצה S מקובל לסמן ב- . בין האידמפוטנטים מוגדר יחס שקילות: אם קיימים x,y כך ש- ו- .

אחת הדרכים לפענח את המבנה של חבורה למחצה היא דרך תת-החבורות שלהן, שהן חבורות-למחצה המוכלות במבנה המקורי, ומהוות, כשלעצמן, חבורות. איבר היחידה של כל תת-חבורה כזו הוא אידמפוטנט.

כל חבורה למחצה בת-מניה אפשר לשכן בחבורה למחצה הנוצרת על ידי שלושה אידמפוטנטים. אם הראשונה סופית, אפשר להניח שגם האחרונה כזו.

הפכיים

במונואיד, אוסף האברים ההפיכים מהווה חבורה. בחבורה למחצה, בהיעדר איבר יחידה, לא ניתן אפילו להגדיר את המושג 'איבר הפיך' - ועל-כן מסתפקים במושג חלש יותר: y הוא הפכי (או הפכי חלש) של x אם ו- (זהו כמובן יחס סימטרי). ייתכן שלאותו איבר יהיו הפכיים רבים. אם y הפכי של x, אז ו- שניהם אידמפוטנטים.

חבורות למחצה רגולריות

חבורה למחצה היא רגולרית, אם לכל איבר a קיים איבר b, שעבורו . במקרה כזה האיבר הוא הפכי של , ולכן אפשר גם להגדיר: חבורה למחצה היא רגולרית, אם כל האיברים בה הפיכים.

לדוגמה, אלגברת המטריצות , מכל כל שדה, היא חבורה-למחצה רגולרית. אם A אלגברה ממימד סופי, אז החבורה-למחצה של כל האיברים (ביחס לכפל) היא רגולרית אם ורק אם האלגברה פשוטה למחצה. אם חבורה אלגברית מעל שדה סגור אלגברית F, אז סגור זריצקי שלה, שהוא תת-חבורה-למחצה של , הוא רגולרי אם ורק אם החבורה רדוקטיבית.

רצועות

חבורה-למחצה המקיימת את הזהויות ו- נקראת "רצועה רגולרית משמאל" (left-regular band). הזהות האידמפוטנטית לבדה מבטיחה רגולריות (כל איבר הפכי לעצמו). לרצועות רגולריות יש שימושים בחקירת הילוכים על מבנים גאומטריים כגון אוסף התאים הנוצר מחלוקת המרחב באמצעות על-מישורים.

חבורה למחצה הפיכה

חבורה למחצה שבה לכל איבר יש הפכי יחיד, נקראת חבורה למחצה הפיכה (inverse semi-group). בחבורה-למחצה כזו מקובל לסמן את ההפכי של x בסימון . אם שני אידמפוטנטים e,f בחבורה-למחצה כזו הם שקולים, אז קיים איבר x כך ש- ו- .

משפט. חבורה למחצה היא הפיכה אם ורק אם היא רגולרית, וכל האידמפוטנטים מתחלפים זה עם זה.

יש גרסה של משפט קיילי מתורת החבורות, עבור חבורות-למחצה הפיכות: כל חבורה למחצה הפיכה ניתנת לשיכון באוסף הפונקציות החלקיות החד-חד-ערכיות של קבוצה כלשהי, X. בחבורה למחצה סופית והפיכה S, אם e הוא אידמפוטנט אז היא תת-חבורה מקסימלית של S (ואיבר היחידה שלה הוא e). את תורת ההצגות של חבורה-למחצה הפיכה אפשר לתרגם לשפה של גרופואידים: לכל חבורה-למחצה הפיכה S, קיים גרופואיד , ולכל שדה F, האלגברות ו- איזומורפיות.