מרחב נורמלי באופן מושלם

בטופולוגיה, מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת ההפרדה החזקה ביותר.

הגדרות ותכונות

מרחב טופולוגי X הוא מרחב נורמלי באופן מושלם, אם אפשר להפריד בו כל שתי קבוצות סגורות, במדוייק, באמצעות פונקציה רציפה: לכל A ו- B סגורות וזרות, קיימת פונקציה רציפה $\ f:X\rightarrow \mathbb {R}$, כך ש- $\ f^{-1}(0)=A$ ו- $\ f^{-1}(1)=B$. בהגדרה זו אפשר להחליף את הישר הממשי בקטע $\ [0,1]$. יש להבחין כי הפרדה זו חזקה יותר מן ההפרדה הרגילה באמצעות פונקציה, אותה מבטיחה הלמה של אוריסון בכל מרחב נורמלי. בפרט, מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב נורמלי.

מרחב נורמלי באופן מושלם המקיים בנוסף לזה את תכונת ההפרדה $\ T_{1}$ (כלומר: כל נקודה מהווה קבוצה סגורה), נקרא מרחב $\ T_{6}$.

במרחב נורמלי באופן מושלם אפשר להפריד (באמצעות קבוצות פתוחות) גם בין כל שתי קבוצות מופרדות (קבוצות שכל אחת מהן זרה לסגור של רעותה). לכן מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב נורמלי לחלוטין, ומרחב $\ T_{6}$ הוא גם מרחב $\ T_{5}$.

כהגדרה חלופית לנורמליות-באופן-מושלם, אפשר לקחת את התכונה הבאה: כל קבוצה סגורה היא קבוצת G-דלתא, כלומר חיתוך של סדרת קבוצות פתוחות.

כל מרחב מטרי הוא $\ T_{6}$

הדוגמא החשובה ביותר למרחבים נורמליים באופן מושלם היא זו של מרחבים מטריים. קל לראות שבמרחב מטרי $\ (X,d)$ כל נקודה היא קבוצה סגורה, ולכן די להוכיח שאפשר להפריד באופן מדוייק בין שתי קבוצות סגורות זרות, A ו- B.

נסמן ב- $\ d_{A}:X\rightarrow \mathbb {R}$ את הפונקציה $\ d_{A}(x)=\inf _{a\in A}d(a,x)$. פונקציה זו מקיימת את אי-השוויון $\ |d_{A}(y)-d_{A}(x)|\leq d(x,y)$, ולכן היא רציפה. בנוסף לזה, מן העובדה ש- A סגורה נובע ש- $\ d_{A}(x)=0$ אם ורק אם $\ x\in A$. באופן דומה מגדירים את הפונקציה $\ d_{B}$. פונקציוץ מסוג זה לעיתים קרובות נקראות "המרחק בין קבוצה לנקודה" ואפשר לבנות מהן מעין מטריקה בין קבוצות במרחב מטרי.

כעת נגדיר: $\ f(x)={\frac {d_{A}(x)}{d_{A}(x)+d_{B}(x)}}\quad$.

אנו טוענים שזו הפונקציה המבוקשת שמפרידה כנדרש. מכיוון ש- A ו- B סגורות וזרות, $\ d_{A}(x)+d_{B}(x)>0$ לכל x. מכאן נובע שהפונקציה f היא רציפה ומוגדרת הייטב. קל לראות שהיא מפרידה באופן מדוייק בין A ל- B ומקיימת: $\ f(A)=0\ ,\ f(B)=1$.

ראו גם

• אקסיומות ההפרדה
• מרחב נורמלי לחלוטין
• מרחב נורמלי