מהלך חופשי ממוצע

מהלך תנועת חלקיק

בפיזיקה ובייחוד בתאוריה הקינטית ובפיזיקת מצב מוצק מהלך חופשי ממוצע של חלקיק (אטום, מולקולה, פוטון, פונון) הוא המרחק הממוצע שהחלקיק עובר בין התנגשויות עם חלקיקים אחרים. חישובי מוליכות קוונטית למשל במוליכים למחצה ובננואלקטרוניקה מתבססים על מושג יסודי זה.

הפיתוח המתמטי

הנוסחה לחישוב הגודל של המהלך החופשי הממוצע תלויה במאפייני המערכת בה נמצא החלקיק. עבור חלקיק עם מהירות גבוהה ביחס לאוסף של חלקיקים זהים בעלי מיקום אקראי, הקשר הבא תקף:

$\ell =(n\sigma )^{-1},$

כאשר $\ell$ הוא המהלך החופשי הממוצע, n הוא מספר החלקיקים ליחידת נפח (צפיפות) ו-σ הוא חתך הפעולה האפקטיבי להתנגשות. אם, מצד שני, המהירויות של החלקיקים הזהים הן בעלות התפלגות מקסוול של מהירויות, אזי הקשר הבא הוא התקף:

$\ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1}.\,$

איור: צבר מטרות בעובי dx

דמיינו קרן חלקיקים הנוריית דרך מטרות, ונשקול נא בלוק ריבועי בעל צלע L ועובי אינפיניטסימלי dx המלא במטרות. לוח כזה מוצג באיור לעיל, והמטרות מוצגות באדום. חתך פעולה של חלקיק הוא ה"שטח" האפקטיבי של המטרה בה החלקיק יכול להתנגש. שטח הבלוק הוא $L^{2}$. מספר המטרות הטיפוסי בבלוק הוא צפיפות המטרות n כפול נפח הבלוק $L^{2}dx$. ההסתברות שחלקיק יעצר בבלוק שווה לשטח הכולל של המטרות חלקי השטח הכולל של הבלוק.

$P(\mathrm {stopping\ within\ dx} )={\frac {\mathrm {Area_{atoms}} }{\mathrm {Area_{slab}} }}={\frac {\sigma nL^{2}dx}{L^{2}}}=n\sigma dx$

כאשר $\sigma$ הוא השטח (או ליתר דיוק "חתך הפיזור" של החלקיקים).

הירידה בעוצמת קרן החלקיקים שווה לשטף הנכנס כפול ההסתברות שחלקיק יעצר בתוך הבלוק.

$dI=-In\sigma dx$

זוהי משוואה דיפרנציאלית רגילה:

${\frac {dI}{dx}}=-In\sigma \equiv -{\frac {I}{\ell }}$

שפתרונה הוא $I=I_{0}e^{-x/\ell }$, כאשר $x$ הוא המרחק שטייל החלקיק המוקרן דרך הבלוק ו-$I_{0}$ הוא שטף החלקיקים ההתחלתי, לפני הפגיעה בבלוק.

$\ell$ נקרא מהלך חופשי ממוצע כי הוא שווה למרחק הממוצע שמטייל החלקיק לפני שהוא נעצר בבלוק.

$\ell \equiv {\frac {1}{n\sigma }}=\langle x\rangle \equiv \int dx\ e^{-n\sigma x}$

ערכים אופיינים

בטבלה הבאה מובאים ערכים אופייניים עבור לחצים שונים.

טווח הואקום	לחץ בhPa	מולקולות / cm3	מהלך חופשי ממוצע
ואקום נמוך	300..1	1019..1016	0.1..100 μm
ואקום בינוני	1..10-3	1016..1013	0.1..100 mm
ואקום גבוה	10-3..10-7	1013..109	10 cm..1 km
ואקום מאוד גבוה	10-7..10-12	109..104	1 km..105 km
ואקום מאוד מאוד גבוה	<10-12	<104	>105 km

דוגמאות ושימושים

יישום קלאסי של מהלך חופשי ממוצע הוא כדי להעריך את הגודל של אטומים או מולקולות.

יישום חשוב נוסף הוא הערכת ההתנגדות של חומר באמצעות המהלך החופשי הממוצע של האלקטרונים בו.

לדוגמה, עבור גל קול בתוך חלל סגור, המהלך החופשי הממוצע הוא המרחק הממוצע שמטייל הגל בין החזרות מקירות החלל.

ראו גם

• ואקום