היסטוריה של האריתמטיקה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־10:01, 19 ביולי 2009

האריתמטיקה היא הענף העתיק ביותר במתמטיקה ואחד השימושיים שבו לצורכי יום-יום. ההיסטוריה של האריתמטיקה משתרעת על פני תקופות שונות, תרבויות ומקומות שונים בהם התפתח ענף זה. בחלק מהמקרים היו אלה התפתחויות שנצברו על סמך ניסיון רב-שנים ובחלק מהמקרים היו אלה פירות מחקר של מתמטיקאים. עד לעת החדשה התפתחה האריתמטיקה באופן שונה באזורים גאופוליטיים שונים, ולפיכך כרוכה היסטוריה זו גם בהיסטוריה הדתית, החברתית והגאופוליטית של מקומות אלה. כך, למשל, עם כיבוש הבבלים את מסופוטמיה, ירשו אלה את השימוש בבסיס 60 מקודמיהם האשורים. כדוגמה נוספת, רוחבית, ניתן להסתכל על מושג האפס. פיתוחו, כפי שהוא מוכר היום, עבר שלבים רבים והושפע רבות מהקשיים התפיסתיים, הדתיים והפילוסופיים שעורר בתרבויות השונות; מתפקידו כ"מקום ריק" למספר עצמאי בעל תכונות מיוחדות עבר האפס גלגולים ופיתוחים שונים^[1].

במקביל לשינויים בתחומים המוזכרים לעיל, לרוב לוותה ההתפתחות המדעית בתחום האריתמטיקה בהתפתחויות מתחומי מדע אחרים, בעיקר אסטרונומיה וענפים אחרים של המתמטיקה. כך למשל, הצורך להכפיל פי שניים את שטחו של מזבח, שהוא בעיה גאומטרית, גרר צורך לחשב את השורש הריבועי של שתיים.

עם ההתקדמות המדעית והטכנולוגית, ובכללה מהפכת הדפוס, נוצר צורך ליצירת "שפה מתמטית אחידה". כך, התקבעו סימונים, הגדרות ואלגוריתמים מוסכמים המשמשים את רוב העולם המודרני, כדוגמת מערכת הספרות ההודית-ערבית וההשיטה העשרונית. עם ההתפתחויות במדע ובטכנולוגיה, נכנסו לשימוש, במקביל למערכות אלה, מערכות נוספות כגון מערכת הספירה הבינארית וההקסדצימלית.

במתמטיקה המודרנית אין אחדות לגבי המונח "אריתמטיקה" והוא אף משמש לא אחת לתיאור נושאים משיקים או קרובים כדוגמת תורת המספרים וגאומטריה אלגברית או אריתמטיקה גאומטרית.

התקופה הפרהיסטורית

כבר בעידן הפרהיסטורי, האדם הנבון החל להבין את רעיונות המספר והחישוב, כנראה בעקבות הצורך בהגדרת בסיס להכללת עצמים. האדם החל לפתח במוחו דרכים לחישוב יעיל ופשוט, והשתמש בידיו כ"אמצעי מכליל" שבאמצעותו יוכל לחשב את העצמים שברשותו. לדוגמה, אם ברשותו הייתה אבן, והיה לו צורך בעוד אבן, הוא קישר בין האבנים לבין עצם אחר שברשותו, למשל אצבעותיו. הוא הבין שעליו להביא אבנים באותה כמות של אצבעותיו שקישר לאבנים.

האדם החל להשתמש בפעולות אריתמטיות בסיסיות כמו חיבור או חיסור של מספרים טבעיים באמצעות התאמה חד-חד ערכית לאצבעות הידיים, כאשר הבסיס המספרי היה בסיס אונרי.ישנו מספר מוגבל של ממצאים מהתקופה הפרהיסטורית שמראים תפישה ברורה של חיבור וחיסור, אך הממצא הברור ביותר מהתקופה הינו עצם האישנגו מאפריקה, שמתוארך לבין השנים 20,000-18,000 לפנה"ס. נקודת המפנה החשובה ביותר של האדם בתקופה זו אירעה כאשר החל להבין שהחישובים שנראו לו כ-"מקרים פרטיים", היוו למעשה חלק מאוסף כללים "אוניברסליים", שחלים על כל פעולה אריתמטית שיבצע, בכל צורה שבה הוא יבצע אותה, ובכך החל האדם לתפוס כיצד לחשב בצורה יעילה יותר.

ככל הנראה, הבנה זו התקבלה רק כאשר העביר האדם את חישוביו לכתב. בהקשר זה, ניתן לראות אנאלוגיה בין ההתפתחות המחשבתית של האדם הקדמון לבין ההתפתחות הקוגניטיבית של הפרט לפי תאוריית ההתפתחות הקוגניטיבית של הפסיכולוג השווייצרי ז'אן פיאז'ה. בתאוריית ההתפתחות בשלבים, ניסח פיאז'ה את שלב האופרציות המוחשיות בו מבין ילד מושגים ופעולות מתמטיות מופשטות כגון חיבור, חיסור, גודל ויחס, גם ללא הבנה מוקדמת של המושגים, אלא כחלק מההתפתחות המחשבתית. כיום משערים כי התהליך המתרחש אצל הילד מקביל לתהליך שהתרחש אצל האדם הקדמון בשלב בו נעזר בחפצים על מנת לכמת את הפעולות שביצע. הייצוג הכמותי בשלב החשיבה של האדם הקדמון תואם את דרך המחשבה המאפיינת ילדים בשלב החשיבה בסמלים. ייתכן שהאדם הקדמון השתמש בסמלים חיצוניים, אך כפי שילדים מחשבים את חישוביהם באמצעות האצבעות בהיעדר גורם חיצוני, כך סביר שעשו ההומוספיאנס בתקופה הפרהיסטורית. ישנם חוקרים החולקים על השוואה זו או על תורתו של פיאז'ה, אך היא מספקת אנאלוגיה מעניינת^[2].

מצרים העתיקה

המצרים הקדומים היו הראשונים שביצעו פעולות מורכבות בתחום המתמטיקה בפרט והאריתמטיקה בכלל. החברה המצרית בתקופה זו נחשבה למתקדמת למדי וצרכיה הגדלים הובילו להתקדמות מדעית. כך, למשל, חלק מן ההתפתחויות בתחום האסטרונומיה נועדו לעזור לתכנון חקלאי מדויק יותר. כמדד לקדמה היחסית אשר אפיינה את שליטתם של המצרים במתמטיקה ובהנדסה בכלל, ניתן לראות את בנייתה של הפירמידה הגדולה של גיזה בשנת 2740 לפנה"ס.

כבר ב-3450 לפנה"ס לערך, פיתחו המצרים גרסה ראשונית של השיטה העשרונית, כשהיא מעורבבת עם השיטה האונרית. דרכם הייחודית להצגת המספרים הייתה חיבורית, כלומר: כל ספרה ביטאה גודל מסוים, כאשר הגודל "הכללי" של המספר הוא סכום הגדלים של כל אחת מהן בנפרד, בלא תלות במיקום הספרה (בניגוד לשיטה העשרונית בה כל ספרה מתארת גודל כלשהו כך שמיקום הספרה קובע את סדר הגודל)^[3].

הסמלים בהם השתמשו המצרים כמספרים:

המספר:

1,000,000

100,000

10,000

1,000

100

10

9

8

7

6

5

4

3

2

^[4]1

הסמל:

או

משמעות הסמל:

אדם ושתי ידיו מורמות

ראשן או צפרדע

אצבע

שושנת מים

סליל חבל

עול של בקר

תשעה קווים

שמונה קווים

שבעה קווים

שישה קווים

חמישה קווים

ארבעה קווים

שלושה קווים

שני קווים

קו בודד

כאשר רצו לבטא מספר מסוים שמורכב מיותר מספרה אחת (דו-ספרתי, תלת-ספרתי וכו'), חרטו המצרים את הסמלים אחד ליד השני, כאשר את הספרות שאינן יחידות ביטאו כקבוצת יחידות של כל ספרה. למשל, אם היו חפצים לבטא את המספר 7,507, הם כתבו אותו: 1×100+7×1,000+5×7 (קרי: שבע פעמים הסימן של אלף, חמש פעמים הסימן של מאה, והסימן של שבע).

כך זה יראה:

לשיטה זו היו כמה יתרונות ברורים עבור המצרים הקדומים. ראשית, הם נהגו לחרוט את כתביהם באבן, שכן הפפירוס לא הומצא בזמנים אלו, ותהליך ההפקה של האבן היה יקר (אף אם פחות יקר מזה של הפפירוס), ולכן הסימנים בהם השתמשו היו קלים יחסית לחריטה, למניעת טעויות. עוד יתרון הוא שבזכות הצורה הייחודית בה כתבו את המספרים, הם לא היו צריכים להרוס את האבן אם הייתה להם טעות חישוב או מספר ששכחו, משום שבמקרה של טעות פשוט סיתתו את המספר המסוים שגרם לטעות, וכך לא היו צריכים להחליף את המספר במספר אחר, ובמקרה של מספר ששכחו, יכלו פשוט להוסיף את אותו הפרט בסוף, שכן מדובר בחיבור, בו סדר הגורמים איננו משנה.

בתקופה מאוחרת יותר, עקב המצאת הפפירוס, עברו המצרים לשיטת-סימון שונה, שקבעה לכל מספר מ-1 עד 9 סמל מיוחד, כמו גם סימון מיוחד לעשרות השונות, למאות, וכו'. כתוצאה מכך, שיטה זו קיצרה את מספר הסימנים בהם הוצגו המספרים. למשל, אם ברצוננו לכתוב את המספר 5,679, עלינו להשתמש רק בארבע סימנים, במקום 27. אך, גם לשיטה זו היו חסרונות; היא הייתה קשה לזכירה, משום שהיו בה 36 סימנים שונים לחלוטין אחד מהשני, לעומת 7 סימנים בסיסיים בכתב הקודם.

המצרים השתמשו בסימנים מיוחדים לציון פעולות אריתמטיות. כמו שאנו משתמשים כיום בסימנים (+) ו- (-) כדי לציין חיבור וחיסור, הם השתמשו בסימנים:

אם הסימן הצביע לכיוון הכתיבה, הסימן היה חיבור, אחרת הוא סימל חיסור. לפי השערות מסוימות מדובר בסימני רגליים ההולכות עם כיוון הכתיבה, או נגדו. המצרים היו חלוצים גם בתחום השברים, אף שהשתמשו בהם רק בבסיס אונרי. שברים אחרים נכתבו כסכום של שברים אונריים. בממצא הארכאולוגי הקרוי פפירוס רינד נמצא פירוקם של שברים רבים לשברים אונריים פשוטים. קו השבר מבטא גם את הספרה 1, והוא נכתב:

לדוגמה, אם נרצה לבטא את השבר 2/5, נכתוב אותו כך:

{\frac {2}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5}}=

בנוסף, היו גם סימנים מיוחדים לשברים 1/2, 2/3 ו-3/4, בהם השתמשו לעתים קרובות:

{\frac {3}{4}}=

{\frac {2}{3}}=

{\frac {1}{2}}=

ישנם מספר ממצאים כמו פפירוס מוסקבה (1850 לפנה"ס) ופפירוס רינד (1650 לפנה"ס), המעידים על פתרון משוואות לינאריות וריבועיות, אך בכל הממצאים ניכר כי המצרים לא השתמשו באריתמטיקה, אלא כמדע שימושי. מקובל כיום להאמין שהמצרים לא ראו במספרים עצמים מופשטים.

בבל

בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור מסופוטמיה האשורים אשר עשו שימוש בכתב יתדות וערכו את חישוביהם בבסיס 60. בין השנים 2300 ל- 2100 לפנה"ס שלטו באזור זה האכדים אשר השפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לכלי המוכר לנו כיום יותר בתור ה"חשבונייה". בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו הבבלים את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה. להשערות בדבר בחירת המספר 60 כבסיס ראו ערך בסיס סקסגסימלי.

שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה לשיטה העשרונית בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, 60. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה).

החידוש המשמעותי בהכנסת שיטה זו לשימוש הוא בקיצור ההצגה של מספרים גדולים. בעוד ובשיטות שהן קיבוציות בלבד יש צרך בסימנים רבים על מנת להציג מספרים גדולים יחסית, בשיטות הכוללות קישור בין מיקום הספרה לסדר הגודל שלה, ישנו חיסכון יחסי במספר הספרות הדרושות להצגת המספר.

היעדר ספרה המייצגת את המספר 0 גרם לבבלים, במשך תקופה ארוכה, להשאיר רווח בכל מקם בו נדרשה הסימון המיצג 0. סימן מתאים נכנס לשימוש בספרות הבבליות רק בשלב מאוחר יותר.

לשיטה זו הדים על האריתמטיקה המוכרת לנו כיום בשני מישורים עיקריים: ראשית – בהכנסת עקרון המיקום כחלק משיטת הספירה, עיקרון המאפשר קיצור הצגת מספרים גדולים, שנית – בשימוש שאנו עושים היום בבסיס 60; חלוקת השעה ל- 60 דקות וחלוקת המעגל ל- 360 מעלות הן השפעות של השימוש בשיטה הבבלית.

בטבלאות אשר נמצאו על הפרת ומתוארכות לשנת 2000 לפנה"ס נמצאו ריבועי המספרים עד 59 וחזקותיהם השלישיות של המספרים עד 32. הבבלים עשו שימוש בזהויות $\ ab={\frac {[(a+b)^{2}-b^{2}-a^{2}]}{2}}$ או $\ ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}$ ובטבלאות המתוארות לעיל כדי לפשט את חישוביהם. לבבלים לא היה אלגוריתם לחילוק ארוך, לכן השתמשו בעובדה שמתקיים ${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$ ובטבלה של מספרים הופכיים. בטבלאות אלה לא נכללו שברים שמכניהם 7 ו- 11 שכן פיתוחם היה אינסופי, אך כן נכללו קירובים עבור המכנים 59 ו- 61.

פלימפטון 322 הוא ממצא ארכאולוגי המדגים את הרמה המתמטית אליה הגיעו הבבלים. זהו לוח חרסית שמקורו בבבל והוא מתוארך בין השנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס. הפרשנויות לגבי לוח זה חלוקות. על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו. על פי פרשנות אחרת, הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו. להרחבה ראו פלימפטון 322. בכל אופן, סביר להניח כי העדויות על פתרון בעיות מתמטיות מורכבות יחסית אינם מעידים על קיומם של אלגוריתמים אלגבריים מגובשים וכי פתרונם של אלה נעשה על ידי התבוננות בטבלאות.

יוון העתיקה

כריכת ספרו של דיופנטוס "אריתמטיקה" משנת 1621 בתרגום ללטינית.

ערך מורחב – מתמטיקה ביוון העתיקה

היוונים היו הראשונים שפיתחו את האריתמטיקה המחקרית במאה ה-5 לפנה"ס, בניגוד לבבלים, הסינים והמצרים שראו באריתמטיקה כולה בבחינת מדע שימושי. כבר בימי פיתגורס (המאה ה-6 לפנה"ס), אנו רואים אצל היוונים גישה דומה ביותר לגישה המודרנית לאריתמטיקה. היוונים השתמשו במערכת אקסיומות כדי לבסס את חישוביהם, התעניינו במהות המספרים הפילוסופית, והם מיינו את המספרים לסוגים שונים, וחקרו את תכונותיהם הכלליות. כמו כן, היוונים היו הראשונים שהוכיחו כי ישנם אינסוף מספרים ראשוניים, כשהראשון שהציג הוכחה לכך בכתב היה אוקלידס בספרו "יסודות", ולהלן ההוכחה מסִפרו:

נניח שיש רק מספר סופי של מספרים ראשוניים. ניקח את כל הראשוניים הללו, נכפיל אותם זה בזה ונוסיף 1. התוצאה שקיבלנו נותנת שארית 1 בחלוקה לכל אחד מהמספרים הראשוניים. לכן תוצאה זו אינה מתחלקת באף אחד מהראשוניים – היא חייבת להיות מספר ראשוני נוסף, או להתחלק במספר ראשוני שאינו ברשימת המספרים הראשוניים שלנו. בכל מקרה קיבלנו שההנחה שיש מספר סופי של ראשוניים מובילה לסתירה, ולכן הנחה זו אינה נכונה, כלומר יש מספר אינסופי של ראשוניים.

— אוקלידס, יסודות

מלבד זאת, היוונים סללו את הדרך למציאת הוכחה ל"משפט היסודי של האריתמטיקה" ואחראיים לגילוי קיומם של המספרים האי-רציונליים, ופיתוח ייצוגם כשורשים. אגדות מסוימות מיחסות גם את גילוי המספרים האי רציונליים לפיתגורס, או לחליפין להיפאסוס, תלמידו שהושעה מהאסכולה הפיתגוראית (ועל פי סיפור אחר, הוטבע בידי פיתגורס ותלמידיו), בשל פרסום התגלית. על פי הסיפור, דבר הגילוי נשמר בסוד, על-מנת שלא לסתור את טענתו של פיתגורס, כי העולם כולו ניתן לתיאור כיחסים בין מספרים טבעיים, אבל אין לסיפור זה סימוכין. הגילוי הראשון שמוצג בכתב בדבר קיומם של מספרים אי רציונליים מוזכר לראשונה אצל אפלטון, יותר ממאה שנים לאחר מותו של פיתגורס.

כדי לייצג בכתב מספרים, היוונים תחילה השתמשו במערכת מספרים המבוססת על בסיס עשרוני, כך שהסמל של כל מספר היה האות הראשונות של אותו מספר ביוונית, אלא אם כן, המספר היה מורכב מיותר מיחידת בסיס אחת (יחידות הבסיס היו המספרים בין 1 ל-9). כך למשל, המספר 5 (ביוונית: Πέντε) סומל באות פאי. שיטה זו נקראה השיטה האטית, על שם האזור ממנו השיטה התפתחה-אטיקה.

האותיות בהם השתמשו היוונים כמספרים בשיטה האטית:
המספר:	50,000	10,000	5,000	1,000	500	100	50	10	5	1
הסימן:	πμ	μ	πχ	χ	πη	η	πδ	δ	π	ι
שמו היווני:	πεντάκις μύριοι	μύριοι	πεντάκις χίλιοι	χίλιοι	πενταόσιοι	έκαου	πέντήκοντα	δέκα	πέντε	εϊξ

האותיות בהם השתמשו היוונים כמספרים בשיטת ה"גרשים":
המספר:	9	8	7	6	5	4	3	2	1
הסימן:	θʹ‎	ηʹ‎	ζʹ‎	στʹ‎	εʹ‎	δʹ‎	γʹ‎	βʹ‎	αʹ‎
המספר:	90	80	70	60	50	40	30	20	10
הסימן:	ϟʹ‎	πʹ‎	οʹ‎	ξʹ‎	νʹ‎	μʹ‎	λʹ‎	κʹ‎	ιʹ‎
המספר:	900	800	700	600	500	400	300	200	100
הסימן:	ϡʹ‎	ωʹ‎	ψʹ‎	χʹ‎	φʹ‎	υʹ‎	τʹ‎	σʹ‎	ρʹ‎

בתקופה מאוחרת יותר, היוונים השתמשו בשיטת סימון מתקדמת יותר, שבה הוצגו המספרים לפי האלפבית היווני. בשיטה זו השתמשו ב-22 האותיות היווניות, כאשר לסימון המספרים בין 1 ל-9 נקבעו תשע האותיות הראשונות, בתוספת גרש ( ' ) בצד ימין של האות, למעלה. תשע האותיות הבאות ייצגו את העשרות מ-10 עד 90, והבאות את המאות. לסימון הספרות בין 1000 ל-900,000, השתמשו היוונים באותם אותיות, אך הוסיפו לאותיות את הגרש דווקא מצד שמאל של האותיות, למטה. ממיליון ומעלה, כנראה השתמשו היוונים בשני תגים במקום אחד.

אחד המתמטיקאים היוונים החשובים ביותר היה דיופנטוס, שחיבר במאה ה-3 לספירה את ספרו "אריתמטיקה" שנחשב המקביל האריתמטי-אלגברי ל"יסודות" של אוקלידס. בספר זה הציג דרכים לפתירת מערכת משוואות אשר מספר הנעלמים בהן גדול ממספר המשוואות ופתרונותיהם הם מספרים שלמים בלבד. בזכות יצירה זו מכונה דיופנטוס בשם "אבי האלגברה".

הדמויות הבולטות בתקופה זו היו פיתגורס מן האי סמוס, הזכור בעיקר בשל משפט פיתגורס והאסכולה הפיתגוראית שעסקה בנומרולוגיה, אוקלידס מחבר הספר "יסודות", שהיה הספר המרכזי ללימוד האריתמטיקה והגאומטריה במשך מאות רבות וארכימדס מסירקוסאי, שהמציא בין השאר שיטת ספירה עבור מספרים גדולים, והגיע עד ל- $\ 10^{8\cdot 10^{16}}$ .

מלבד התרומה של המתמטיקאים היווניים לגיבוש וארגון התחומים שבהם עסקו, יש לציין את פיתוח התאוריה של חתכי חרוט, שנולדה במהלך התקופה ההלניסטית, והתפתחה ללא שימוש מפורש באלגברה או בטריגונומטריה. המתמטיקה הגיעה לרמה כזו, שאפשרה לתלמי לנסח מודל גיאוצנטרי של מערכת השמש, שהסביר את התצפיות עד למאה ה-17.

רומא העתיקה

שיחזור של אבקוס רומי עשוי ברונזה, הנמצא באוניברסיטת מיינץ אשר בגרמניה.

תרומתם של הרומים לאריתמטיקה איננה התפתחות מתמטית חשובה, אלא הכנסת השימוש בספרות רומיות והגדרת האריתמטיקה כחלק חשוב מ"סל הכלים" של האדם המלומד, כפי שניתן לראות בהכללתה בשבע האומנויות החופשיות. אף שהרומים נהגו לאמץ מתרבויות כמו יוון התפתחויות בתחומי הפילוסופיה, האמנות והמלאכה, דווקא את ההתפתחויות המתמטיות של היוונים, שהיו פתוחות לפניהם, הם לא אימצו. הרומים לא השתמשו בענפי המתמטיקה והמדע בהם לא היה קשר ישיר ומיידי עם צורכי החיים היומיומיים שלהם ומשום שלא היו זקוקים להם, לא אימצו את הפיתוחים היווניים באריתמטיקה. מקצת האריתמטיקה שהייתה בידי הרומים לא באה אליהם מן היוונים, אלא מן אטרוסקים. בספרות אלו השתמשו בכל רחבי אירופה, עד אשר הוחלפו בספרות ההודיות-ערביות, בשל פשטותם ונוחות השימוש בהם ביחס לשיטה הרומית.

השיטה הרומית מבוססת על הקבצה - כל מספר מיוצג כאוסף של סימנים, כאשר כל אחד מהסימנים מייצג כמות קבועה מראש, למרות שהיא כן תלויה במיקומו במספר. ערכו של המספר נקבע על פי סכום ערכי הסימנים המופיעים, כאשר חלק מהסימנים עשויים להיות מחוסרים מהסכום, בהתאם למיקומם במילה.

שיטת הספרות הרומיות מכילה שבעה סימנים בסיסיים שמקורם באלפבית השפה הלטינית:

I, המייצגת את הספרה אחת, ובשפת המקור unus.
V, המייצגת את הספרה חמש, ובשפת המקור quinque.
X, המייצגת את הספרה עשר, ובשפת המקור decem.
L המייצגת את הספרה חמישים,ובשפת המקור quinquaginta.
C המייצגת את הספרה מאה, ומקורה כנראה במילה centum שפירושה מאה.
D המייצגת את הספרה חמש מאות, ובשפת המקור quingenti.
M המייצגת את הספרה אלף, ומקורה כנראה במילה mille anangu שפירושה אלף.

אף שבחירתם של הרומאים באותיות מיוחדות לציון המספרים נעשתה במתכוון, ישנם מספר סברות לגבי כל אחת מהבחירות. אחת הטענות הקיימות היא שהאות I נבחרה לסימון הספרה 1 מפני שהיא קו יחיד.
איש המאה ה-16, מתאוס הוסטוס, הניח כי האות V מסמלת יד פתוחה, כאשר כל זוג אצבעות, למעט האגודל, צמודות, ומכאן שהאות X היא שתי ידיים שכאלה. ישנה גם סברה כי X מצביע על ההרגל להעביר שני קווים מוצלבים על עשר יחידות כתובות, ואם כך, ה-V נובע כחצי מהקו המוצלב. ההיסטוריון הגרמני תאודור מומזן, שהיה מומחה להיסטוריה של האימפריה הרומית, הוא זה שסבר כי האות C היא ראשי תיבות של centum (מאה) וכי M היא ראשי תיבות של mille (אלף). ייתכן כי האותיות L ו-D נבחרו כי הן האותיות הכי דומות מתוך האלפבית הרומי לחציהן המדויק של C (חצי ממאה-חמישים), ו-M בהתאמה.

למספרים גדולים השתמשו הרומאים בקו עליון מעל הספרה, המסמל למעשה את הכפלתה ב-1,000.

דוגמאות:

V =‏ 5,000.

X =‏ 10,000.

בכתיבת מספר, הספרות נרשמות משמאל לימין, מהגדולות לקטנות. אם מופיעה ספרה קטנה משמאל לספרה הגדולה ממנה, יש לחסר את הספרה הקטנה מהמספר הכולל. למשל:

V מסמל את המספר 5.
IV מסמל את המספר 4 - המספר 5 שמסומל על ידי V, פחות המספר 1 שמסומל על ידי I ומופיע משמאל ל-V.
VI מסמל את המספר 6: כאשר I מופיע מימין ל-V, ולכן הוא אינו מחוסר מהמספר הכולל אלא מחובר אליו.
23 מסומן ב-XXIII שהוא צירוף של X+X+I+I+I.

מטרת החיסור היא לפשט צירופים: במקום לכתוב IIII עבור 4, די לכתוב שתי ספרות: IV.

השימוש בשיטת החיסור נעשה עבור הספרות הבאות: I יכול להופיע מימין ל-V או ל-X. X יכול להופיע מימין ל-L או ל-C, ו-C יכול להופיע מימין ל-D או ל-M.

לדוגמה:

19 יסומן כך - XIX, כלומר עשר ואחריו 9
40 יסומן כך - XL , כלומר 10 שבא לפני ה-50, ולפי הנוסחה, היות שמדובר במספר ממעלה ראשונה יחסית לעשר, הוא יסומן בדרך הנקובה.

49 יסומן כך - XLIX

המספר 2321 ייכתב כך - MMCCCXXI
והמספר 2449 כך - MMCDXLIX

בעת העתיקה השימוש בשיטת החיסור היה מקובל פחות מאשר בימינו, ועל כן לרוב השתמשו ב-IIII על מנת לייצג 4, ולא ב-IV, וכדומה.

הספרות הרומיות נותרו לשימוש בעיקר כאמצעי דקורטיבי, למשל בשעונים. בנוסף, הן מופיעות גם בטקסטים רשמיים כגון חוקת ארצות הברית.

התרבות ההודית

תרומתם העיקרית של ההודים לאריתמטיקה היא פיתוח השיטה העשרונית והכנסת שימוש מלא במושג אפס, כמו גם עבודתם עם מספרים שליליים.

בין השנים 2500 לפנה"ס ל- 1700 לפנה"ס התקיימה בהודו תרבות עמק האינדוס. אנשי תרבות זו אימצו מערכת של מידות ומשקולות המבוססת על חלוקה עשרונית של "מידות טבעיות". בחפירות ארכאולוגיות נמצאו שרידים המראים על שימוש ביחידת מידה של 3.35 ס"מ אשר מהווה באורכה עשירית מיחידת הרגל. ממצאים אחרים הראו על שימוש ביחידת מידה שאורכה 0.932 ס"מ ומהווה מאית מיחידת הפסע. מדידות באתרים ארכאולוגיים הראו כי יחידות אלה היו בשימוש לצורכי בנייה.

עם ירידת קרנם של תושבי עמק האינדוס, תפסו את מקומם ההינדו-אריאנים. ספרי הקודש שלהם, הודה, כללו בין היתר את ה"שולבה סוטרא" - ספר קודש המתאר בניית מזבחות המיועדים להקרבת קורבנות. בספר זה מובאים משפטים ללא הוכחות המתארים, למשל, בנית מזבח רבוע ששטחו זהה לזה של משולש נתון או בניית מזבח רבוע ששטחו זהה בקירוב לזה של מעגל נתון^[5]. בחישוביהם, היה עליהם למצוא את ערכו של ${\sqrt {2}}$ , ככל הנראה על מנת לפתור בעיות הנוגעות להכפלת שטחו של מזבח רבוע. בשולבה סוטרא נתן הסבר זה לחישוב ערכו:

הגדל יחידת אורך בשליש ושליש זה ברבע ממנו והחסר מכך את החלק השלושים וארבע של הרבע האמור.

— השולבה סוטרה

ובכתיב מתמטי ${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}(1+{\frac {1}{4}}(1-{\frac {1}{34}}))={\frac {577}{408}}\approx 1.4142156$ . הקירוב מדויק עד הספרה החמישית אחרי הנקודה (זהו השבר הקרוב ביותר ל- $\ {\sqrt {2}}$ מבין כל השברים שהמכנה שלהם קטן מ- 985). לא ידוע לנו כיום כיצד הושג דיוק מרשים זה, אך ישנן מספר השערות בנושא.

גרסה של ספרות ברהאמיניות כפי שהיו מקובלות במאה הראשונה לפנה"ס

בערך בסביבות המאה השלישית לפנה"ס, החלו להופיע הספרות הברהאמיניות (ראו איור). ספרות אלה הן היסוד לספרות המוכרות לנו כיום מהשימוש בשיטה העשרונית. הסימנים המוכרים לנו כיום התקבעו במאה החמש העשרה, בין היתר הודות לצורך במערכת מוסכמת שבא בעקבות מהפכת הדפוס. ישנן מספר השערות בנוגע לדרך בה אימצו ההודים את השילוב של בסיס עשרוני עם העקרון של סדר גודל התלוי במיקום הספירה. השערה אחת מתבססת על העובדה שהראשונים לקשר בין מיקום הסדרה לסדר הגודל שלה היו הבבלים. לפי השערה זו, העיקרון הועבר להודים על ידי היוונים כאשר ההודים "שילבו" אותו עם השימוש בבסיס ספירה עשרוני. השערה אחרת רואה בפיתוח התבססות על השיטה הסינית. השערה שלישית טוענת כי ההודים הגיעו לרעיון זה לבדם ללא גורם מתווך.

על חשיבותה של שיטת הספירה ההודית אמר פייר סימון לפלס את הדברים הבאים:

השיטה המבריקה שבעזרתה ניתן לבטא כל מספר בעזרת 10 סימנים בלבד (כשלכל סימן סדר גודל וגודל מוחלט) מקורה בהודו. בימינו רעיון זה נראה כה פשוט עד שחשיבותו ונחיצותו אינם מוערכים דיו. חשיבותו נעוצה בכך שפישט את החישובים והציב בכך את האריתמטיקה בכפיפה אחת עם ההמצאות השימושיות ביותר. חשיבותה של המצאה זו מתבהרת עוד יותר כאשר אנו חושבים על כך שהייתה מעבר להישג-ידם של הקדמונים הגדולים כדוגמת ארכימדס ואפולוניוס.

— פייר סימון לפלס

עם ירידת קרנה של הדת ההודית, החלו דתות אחרות לבסס את מעמדן. אחת מהן, הייתה הג'ייניזם שהתפתחה במאה השישית לפני הספירה, על בסיס ההינדואיזם. הקוסמולוגיה הג'יינית והצורך בתחזיות אסטרונומיות (לכתיבת לוחות שנה, למשל) היוו כוח מניע להתפתחויות מתמטיות רבות. ^[6] עם זאת, המתמטיקה נתפסה עדיין כמדע שימושי או ככלי יישומי. כך, למשל, הביאו סוגיות בקוסמולוגיה פיתוח רעיונות בנושא האינסוף שלא נשקלו בשנית עד לעבודותיו של גיאורג קנטור.

בערך בשנת 500 לספירה, פרסם המתמטיקאי ההודי אריאבהטה את עבודתו אשר כללה סיכום של ידע רב במתמטיקת הג'יין והצגה של מספר רעיונות מהפכניים ביחס לאותה תקופה באסטרונומיה. בכך, נחשבת עבודתו למבשרת העידן הקלאסי של המתמטיקה ההודית. בין היתר, ביסס אריאבהטה תאוריה מדעית לביסוס התופעות של מופעי הירח וליקויי מאורות. בעבודותיו שילב טריגונומטריה ופתרון משוואות. פיתוח עבודות נמשך רבות גם אחרי מותו. תקופת "העידן הקלאסי" במתמטיקה ההודית הביאה עמה שכלולים וחידושים בתחומים רבים, ביניהם גם שכלול של שיטת הספירה ההודית.

במאה השתים עשרה בוצעו מספר התקדמויות חשובות בתחום, חלק ניכר מהן על ידי המתמטיקאי ההודי בהסקרה השני, שבספרו מוצעות ארבע שיטות לביצוע כפל ארוך. כמו כן, הוא דן גם בנושאים אחרים כמו מספרים חיוביים ושליליים, האפס וחילוק באפס, בעיות העוסקות בכפל ובחילוק, נושאים באלגברה ובטריגונומטריה.

כבר בתחילת המאה ה-12 לספירה ידעו להבדיל ההודים בין שני ערכי השורש הריבועי של מספר חיובי (זה השלילי וזה החיובי) ופיתחו כללים קבועים לארבע פעולות חשבון, כדוגמת הכלל הקובע כי מכפלת שני מספרים שווי סימן תהא חיובית ואילו מכפלת שני מספרים שוני סימן תהא שלילית.

סין

עקב סיבות גיאופוליטיות, במשך שנים רבות התפתחה התרבות של סין העתיקה עם זיקה מעטה מאוד לתרבויות אחרות. המתמטיקה הסינית, בשונה למתמטיקה היוונית, הייתה מתמטיקה תכליתית. מחקר מתמטי תאורטי היה מועט למדי בסין העתיקה.

מעט מאוד ידוע על המתמטיקה הסינית עד למאה הראשונה לפני הספירה. הספר החשוב ביותר אשר השתמר בידינו מתקופה זו הוא ה"ג'וֹאוּבִּי סְוָּאנְגִ'ינְג" - "המדריך של ג'ואו למדידת צללים" - אשר מתוארך לתקופה של 100 לפנה"ס עד 100 לספירה ואשר נמנה עם "עשרת הקלאסיקות". ספר זה עוסק במדידת מיקומם של גופים שמימיים, אך המתמטיקה שבו שימושית אף לצרכים אחרים. ספר זה מכיל את "משפט גאוגו" אשר מהווה גרסה סינית ל"משפט פיתגורס".

הספר הנחשב לחשוב ביותר בהיסטוריה המתמטית של סין הוא "גְ'‏יו גָא'נְג סוָּא‏ן שוּ‏‏" - "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה" המכיל מידע שנאסף במשך שנים רבות ונחשב לאבן-דרך בהתפתחות המתמטית של סין ^[7] ספר זה מכיל 246 בעיות מתחומי חיים שונים האמורות להקיף הידע הדרוש לפתרון בעיות מתמטיות יום-יומיות. בספר זה מתוארות נוסחאות ושיטות חישוב המובאות ללא הוכחה. בפרק הראשון, העוסק במדידת שטחים, ישנם הסברים על ביצוע ארבע פעולות חשבון על שברים, כמו גם את האלגוריתם האוקלידי למציאת מחלק משותף מקסימלי. בפרק השני העוסק בסחר בטובין מובאות דוגמאות לשימוש בחוקי הפרופורציות והאחוזים. הפרק השלישי העוסק בסוגי חלוקה; ישנו שימוש בחוקי פרופרציות, הן ישרות והן הפוכות והן שימוש בטורים חשבוניים והנדסיים. הפרק הרביעי עוסק בבעיות בהן ישנה תלות בין אורך לשטח ועוסק ביישומים של נושאים כגון שברי יחידה ושורשים מסדר שני ושלישי. בפרק זה נתן למצוא את רעיון הגבול והאינפיניטסימל. הפרק החמישי עוסק בהנדסה אזרחית ובנושאים של הנדסת המרחב. הפרק השישי עוסק בבעיות המשלבות נושאים כמו קצב ופרופורציה. בעיות בסגנונה של "בעיה מספר 26" נפוצות עד לימינו:

מקווה מוזן על ידי חמש תעלות. דרך התעלה הראשונה לבדה יוזן המקווה בשליש יום, דרך השניה לבדה ביום, דרך השלישית לבדה ביומיים וחצי, דרך הרביעית לבדה בשלושה ימים ודרך החמישית לבדה בחמישה ימים. לו תחוברנה כל התעלות בו-זמנית למקווה, כמה זמן יקח לו להתמלא?^[8]

— "תשעה פרקים של אמנות המתמטיקה"

בפרקים השביעי והשמיני ניתן למצוא דרכים לפתרון משוואות לינאריות. הפרק התשיעי עוסק במשולשים ישרי זווית וכולל יישומים של משפט פיתגורס, שלשות פיתגוראיות וחפיפת משולשים. בפרק זה ניתן למצוא משוואות ריבועיות כדוגמת $\ x^{2}+34x=7100$ ואת פתרונן באמצעות האלגוריתם הסיני להוצאת שורש ריבועי, ולא באמצעים אלגבריים.

בספרו של שְׂיָאהוֹאוּ יָאנְג (חי בערך בין השנים 400 ל-470) "המדריך של שְׂיָאהוֹאוּ יָאנְג למתמטיקה" נתן למצוא הצגות עשרוניות למספרים תוך שימוש בחזקות חיוביות ושליליות. במדריך אחר מאת גָ'אנְג צְ'יוֹגְ'ייֵן נתן למצוא נוסחה לסכום של טור חשבוני. האסטרונום דְזוּ צ'ונְג-גְ'ה (429-501), בעזרת בנו, הוכיח כי ערכו של π נמצא בין 3.1415926 לבין 3.1415927. הוא המליץ להשתמש בקירוב 355/113 עבור עבודות מדויקות ובקירוב 22/7 עבור עבודות מדויקות פחות.

התפתחויות חשובה נוספת בתחום האריתמטיקה בוצעו על ידי גְ'יָה שְׂייֵן (חי בערך בין 1010 לספירה לבין 1070) אשר שכלל את הדרכים למציאת שורשים מרובעים ושורשים קוביים.

תרבות המאיה

תרבות המאיה הינה תרבות אשר התקימה במרכז אמריקה. התור הקלאסי של תרבות המאיה התקיים בין השנים 250 ל- 900 לספירה. העיר טיקאל בחצי האי יוקטן הגיעה בשיאה לאוכלוסייה של כ-50,000 תושבים ועם כ- 3,000 מבנים. כוהני הדת של תרבות המאיה עסקו רבות באסטרונומיה והיו בעלי השפעה רבה על תרבות המאיה בכללותה. לפיכך, כפועל יוצא, היה צורך בכלים מתמטיים לצרך בניית לוחות שנה ולניבויים אסטרונומיים. לצורך זה פיתחו בני המאיה מערכת ספרות מתקדמת יחסית לתקופתם.

בני המאיה השתמשו בספרות המאיה שפיתחו, אשר התבססו על בסיס 20, ככל הנראה מתוך ספירה על ידי שימוש באצבעות הרגליים והידיים גם יחד. אחד משלושת הסימנים מיצג את המספר 5, ככל הנראה כנגד 5 אצבעות בכף-יד. כל ספרות המאיה נכתבות באמצעות שלושה סימנים פשוטים: נקודה -המסמנת את המספר אחד, קו - המסמל את המספר חמש, וקונכייה - המסמלת את המספר אפס. שיטה זו נחשבת למתקדמת למדי לתקופתה שכן כללה הן את השילוב של עיקרון תלות מיקום הספרה לסדר הגודל של המספר הנמצא בה והן את קיומו של המספר אפס שאף קדם למערכת המיקומית והיה לאלמנט מהפכני ביחס לתקופתו. בני המאיה היו הראשונים להכניס את האפס לשימוש מלא במערכת הספרות שלהם שעה שבמערכות אחרות נהגו להותיר מקום ריק במקום בו אמור היה להופיע האפס.

בשיטת הספירה של המאיה, "גודלה האפקטיבי" של הספרה a (סיפרה כלשהי) אשר נמצאה במקום $\ n$ המקיים $n\geq 3$ היה, לפי חישובי המאיה, $\ a\times 18\times 20^{n-2}$ . כך, לדוגמה, ערכו של המספר ‏₂₀(8,14,3,1,12) היה:
$\ 12+1\times 20+3\times 18\times 20+14\times 18\times 20^{2}+8\times 18\times 20^{3}=1253912$ .^[9]

אצל בני המאיה התקיים קשר הדוק בין שיטת הספירה ללוח השנה; אנשי המאיה עשו שימוש בשני לוחות שנה נפרדים: אחד בן 260 ימים אשר שימש לצרכים פולחניים וכלל 13 חודשים בני 20 יום כל אחד ואחד בן 365 ימים אשר שימש למטרות אזרחיות וכלל 18 חודשים בני 20 יום כל אחד ועוד "חודש" בין חמישה ימים.

המכנה המשותף הקטן ביותר של 260 ו-365 הוא 18980 ימים, כלומר: 52 שנים אזרחיות או 73 שנים פולחניות, ואכן- לבני המאיה היה "מעגל ספירה" מקודש בן 52 שנים.

נוסף על לוח שנה זה, ספרו בני המאיה את הזמן מבריאת העולם, לפי אמונתם, בשנים בנות 365 ימים כל אחת. בכל שנה היו 18 חודשים בני 20 יום כל אחד, ועוד "חודש" קצר בן חמישה ימים שנחשב למביא מזל רע.

ככל הידוע, לא היו לבני המאיה שיטות לכפל ארוך ולא שימוש בשברים, אך למרות זאת הגיעו בני המאיה להישגים אסטרונומיים מרשימים. למשל, הם הצליחו לחשב את אורכה של השנה בתור 365.242 ימים כאשר כיום ידוע הערך של 365.242198 ימים.

העולם המוסלמי

בין המאה השמינית לחמש-עשרה לספירה, חלו מספר התפתחויות חשובות במתמטיקה הערבית בכללותה ובאריתמטיקה בפרט.

בארצות ערב היו מקובלות שלוש שיטות ספירה עיקריות: השיטה האונארית, הבסיס הסקסגסימלי (שימוש במספר 60 כבסיס) והשיטה ההודית-ערבית. השיטה האונרית שימשה בעיקר לחישובי מסחר תוך שימוש באצבעות ככלי ספירה והייתה בשימוש בעיקר בקרב הסוחרים. המתמטיקאי הפרסי אבו אל-וואפה, שידע להשתמש גם בשיטה ההודית-ערבית, אמר עליה:

לא מצאתי לה שימוש בקרב חוגי אנשי העסקים והאוכלוסייה של הח'ליפות המזרחית במשך זמן רב.

השיטה הסקסגסימלית נכתבה בעזרת אותיות מהאלפבית הערבי והייתה בשימוש בעיקר לצורך חישובים אסטרונומיים. בקרב האסטרונומים המוסלמים היה השימוש בסיס סקסגסימלי כה נפוץ עד כי כלליו זכו לכינוי "אריתמטיקה של אסטרונומים". השיטה העשרונית הובאה מהודו אך לא נעשה שימוש בסימנים מוסכמים בעת העבודה עמה כך שבמקומות שונים ניתן היה למצוא סימונים שונים. הערבים שכללו את השיטה ואת עיצוב הספרות והיו בעלי תרומה חשובה לעיצובו של המושג אפס.

תקופת שלטונו של הח'ליף העבאסי החמישי הארון א-רשיד, אשר השתרעה בין השנים 786-809, מכונה לעתים "תור הזהב העבאסי". תקופה זו לוותה בהתפתחויות חברתיות ותרבותיות רבות, ביניהן תרומות למתמטיקה. א-ראשיד עודד מחקר והתפתחות מתמטיים ובתקופתו תורגם היסודות לערבית. תחת תקופתו של בנו, הידוע בכינויו אל-מאמון, המשיכה פריחה זו. הוא הקים את בית החוכמה בבגדאד ובו אסף מלומדים רבים בני דתות שונות שעסקו במחקר ובתרגום של כתבים חשובים משפות זרות. במסגרת זו עמלו מתרגמים רבים בעלי השכלה מתמטית על תרגומם של כתבים מתמטיים חשובים תוך מטרה להעשיר את הידע אשר היה ברשותם. בין מלומדים אלה נכלל ח'ואריזמי, אבי האלגברה. המילה "אלגברה" עצמה נגזרת משמו של אחד מספריו והמונח המתמטי "אלגוריתם" נגזר משיבוש שמו. להלן ציטוט מדבריו המדגים את גישתו:

אם אני תוהה ביני לביני בשאלה "במה בדרך כלל מעוניינים אנשים בחישוביהם?", אני מגלה כי כמעט תמיד זהו מספר.
מצאתי גם כי כל מספר מורכב מיחידות וכי כל מספר ניתן לפרק ליחידות. כמו כן, גיליתי כי כל מספר מאחד עד עשר גדול מקודמו ביחידה אחת. אחרי עשר, העשרות גדלות בכך שהן מוכפלות או משולשות כפי שהיו האחדות לפניהן וכך אנו מקבלים מספרים כמו עשרים ושלושים, כך עד מאה. כך, נתן להמשיך ולמנות את המספרים עד לגבול שממנו לא נוכל להעריכם יותר.

— אבו ג'עפר מחמד אל ח'ואריזמי

ביחס לתקופתו, מבטאות מילים אלה הבנה עמוקה ומופשטת יחסית של המספרים. תרומתו החשובה של ח'וארזימי לפיתוח האלגברה הובילה לפתיחת כיווני מחשבה וכלים חדשים אשר איפשרו פיתוח נוסף ועמוק יותר של האריתמטיקה. נוסף על כך, כתב ח'וארזימי מסה חשובה שעסקה בספרות ההינדיות. החיבור כולל את תיאור השיטה ומתייחס אף למספר אפס. ח'ואריזמי היה לחלוץ בפיתוחו של האפס בשילובו אותו במערכת הספירה מבוססת המקום. כמו כן, תיאר ח'וארזימי שיטות לביצוע חישובים אריתמטיים כגון מציאת שורש ריבועי. המתמטיקאי בן תקופתו אבו קאמיל, הבין את החוק $\ x^{n}\cdot x^{m}=x^{m+n}$ . המתמטיקאי הפרסי אל-קראג'י נחשב לאדם אשר ביסס את האלגברה סופית על בסיס הפעולות האריתמטיות (כפי שהיא מוכרת לנו כיום) ולא על בסיס הגאומטריה.

המספרים האי-רציונליים היו מוכרים לעולם המוסלמי; הפרסים עומר אל כיאם וכן נאצר אל-דין אל-צוסי טענו שכל יחס בין גדלים ניתן להציג כמספר, רציונלי או אי-רציונלי. עם זאת, לא אימצו הערבים את קיומם של מספרים שליליים. שברים עשרוניים הופיעו בספרות המתמטית האסלאמית כבר במאה העשירית.

ת'אבת אבן קורה, אחד מהמתמטיקאים אשר צמחו בבית החוכמה, ידוע בגילויה של משוואה המאפשרת למצוא זוגות של מספרים ידידותיים. המתמטיקאי אל-היית'ם פיתח את הידע בנושא המספרים המושלמים והעלה את המשפט הידוע כמשפט וילסון הטוען כי אם המספר p ראשוני אזי $1+(p-1)!$ מתחלק ב-p ^[10]. לא ידוע האם הוכחת המשפט הייתה ידועה לו, אך הוכחה סופית למשפט זה ניתנה רק בשנת 1771 על ידי ז'וזף לואי לגראנז'. אל-פאריסי המשיך את המחקר בתחום המספרים הידידותיים. הוא נתן הוכחה חדשה למשפטו של אבן קורה תוך שימוש ברעיונות חדשים בנוגע לפירוק לגורמים וקומבינטוריקה. הוא מצא את זוג המספרים הידידים 17296 ו- 18416.

האינקה

האינקה הייתה אימפריה שהתקיימה משנת 1200 בערך ועד כיבושה בשנת 1532. לתקופה קצרה בהיסטוריה שלטה אימפריית האינקה על שטח גדול באמריקה הדרומית, שכלל חלקים מהמדינות המודרניות פרו, בוליביה, אקוודור, צ'ילה וארגנטינה. באימפריה זו חיו כ-6 מיליון איש בני עמים שונים, שדיברו ביותר מ-700 שפות.

באימפריית האינקה לא נעשה שימוש בכתב ולכן הדבר מקשה את הבנתנו לגבי הרמה המתמטית אליה הגיעו בני תרבות האינקה. החוקר G. Urton טוען בספרו כי לאינקה הייתה רמה מתמטית אשר כללה הבנה מופשטת של המספרים.

למרות היעדר הכתב, ניהולה של מערכת מדינית כה גדולה דרש צורה מסוימת של אכסון מידע מתמטי (כגון מיסים, כלי נשק, בהמות וכו'). לצורך אכסון המידע המתמטי השתמשו האינקה בכלי הנקרא קִיפּו, מילולית: קשר. הקיפו היה עשוי חבלים כך שאכסון המידע עליו התבצע באמצעות קשירות עם מערכת מיקום עשרונית כך שגודלה המוחלט של ספרה בוטא על ידי מספר קשרים רצופים. לדוגמה: שלושה קשרים רצופים בתחילת החבל היו מייצגים שלושה אחדות, חמישה קשרים רצופים המופיעים אחריהם מייצגים חמישה עשרות וכו'. "אפס" בוטא על ידי השארת מרווח גדול בין הקשרים. כיוון שבקיפו נכרכו יחדיו מספר חבלים, הבידול ביניהם (כך שניתן יהיה לזכור איזה חבל מיצג איזה מספר) נעשה על ידי קשירת חבלים בצבעים שונים. דרך נוספת לבידול החבלים הייתה על ידי יצירת "חבלי משנה" אשר חוברו ל"חבל ראשי" באמצעו.

מלך האינקה מינה פקידים אחראי קיפו אשר היו קרויים "קויפוקאמאיוק". אלה הוצבו בכל עיר וערכו רישומים שונים כאשר בערים גדולות היו מספר פקידים. כמו כן, היו הקיפו בשימוש גם בידי מערכת המשפט. ידוע על מכשיר בשם יוּפּ‏‏נה אשר שימש את האינקה כמעין חשבונייה. ישנן מספר השערות לגביו, לגבי תפקידו ואופן פעולתו.

האריתמטיקה ביהדות

כבר בתקופת המקרא, עשו בני ישראל שימוש במתמטיקה ובאריתמטיקה לצרכים שונים, בין היתר בעקבות הצורך בה בהלכה היהודית, כגון חוקי השבת האוסרים ללכת בשבת מעלה מתחום השבת, חוק הכלאים שלפיו אסור לזרוע שני מיני זרעים יחד אלא במרווח מסוים, ניתוחים אסטרונומיים לצורך חישובים הנוגעים ללוח העברי לצורכי קביעת המועדים ועוד.

העברים השתמשו בגרסה של שיטה העשרונית שהייתה בנויה על חוקי החיבור והכפל, ולמרות זאת אנו יודעים כי חלק מן המידות והמשקולות במקרא נמדדו על פי בסיס 60 ובסיס 12. אף שייתכן כי לבני ישראל היו, כמו לשאר עמי הסהר הפורה הקדום, ובהם הבבלים והמצרים, שיטת ספירה משלהם, התנ"ך איננו כולל סימנים אריתמטיים, והמספרים כתובים בו אך ורק במילים. כל מספר מ-1 עד 10 נקרא בתנ"ך בשם שונה. שמות המספרים מ-11 עד 19 בנויים מצירוף היחידות אל העשרת, כבעקרון החיבור. השם "עשרים" היא צורת רבים זוגית של המילה עשר, והיא מורה על פעולת הכפל "עשר כפול שתיים". באותו האופן, גם המילה "שלושים" היא בעצם "שלוש כפול עשר", כאשר סיומת הרבים "-ים" מהווה בהקשר זה, הלכה למעשה, סימן לשוני לכפל בעשרת.

היחידה הראשונה אחרי עשר היא מאה, אחריה אלף, והשלישית והגדולה ביותר במקרא היא רבבה, וברבים רבבות או רבוא.

מספרים עבריים במילים:
המספר:	10,000	1,000	100	20	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
המילה:	רבבה	אלף	מאה	עשרים	אחד-עשר	עשרה	תשעה	שמונה	שבעה	שישה	חמישה	ארבעה	שלושה	שניים	אחד

כתיבת מספרים גדולים במקרא התבצעה בשתי דרכים שונות. האחת היא "בסדר עולה", כלומר – מהיחידה הקטנה ביותר אל היחידה הגדולה ביותר. דוגמה: "ויחי ירד שתים ושישים שנה ומאת שנה, ויולד את חנוך" (בראשית ה' י"ח). דרך זו היא הקדומה יותר והיא נובעת, ככל הנראה, מקשיי התפיסה של האדם הקדמון באשר לכמות, קרי: היה לו קל יותר לספור ראשית את היחידות – איתן התעסק רבות והכיר היטב – ובשלב הבא לעסוק במספרים בסדרי גודל היותר "מרוחקים" ממנו ושהיכרותו עמם מעורפלת יותר.

הדרך השנייה לכתיבת מספרים היא לפי "סדר יורד", כלומר – מן היחידה הגדולה ביותר לקטנה ביותר. בכל ספרי הנביאים פרט ליחזקאל, כתובים המספרים בסדר יורד. דוגמה: "ויהי משקל הזהב, אשר בא לשלמה בשנה אחת, שש מאות ושישים כיכר זהב" (מלכים א', י' י"ד).

במקביל, ישנם גם מקומות בהם שתי הדרכים הנ"ל "מתערבבות", כלומר, חלק אחד במשפט נכתב בסדר עולה, והשני בסדר יורד. דוגמה: "ויהי כל בכור זכר במספר שמות, מבן חדש ומעלה לפקודיהם, שנים ועשרים אלף, שלושה ושבעים ומאתיים" (במדבר ג מג).

במקרא מצויים שברים רבים והם: חצי, רבע, חמישית, שישית ועשירית. יש להניח שהשברים 1/20, 1/30 ו- 1/50 נכנסו לחישוביהם של העברים, מכיוון שהגרה הייתה החלק העשרים של השקל, הסאה – החלק השלושים של החומר והשקל – החלק החמישים של המנה. בתנ"ך אין אזכור מפורש לשברים בעלי מונה הגדול מ-1; השברים שמונהם גדול מאחד מצוינים על ידי המילה "ידות" המציינת ריבוי של שברים שמונהם אחד. לדוגמה:

ונתתם חמישית לפרעה, וארבע הידות יהיה לכם

— בראשית מז כד

"ארבע הידות", משמעו, "ארבעה חלקים". סביר להניח כי בני ישראל, כשאר עמי המזרח הקדום, לא השתמשו בשברים שמונהם גדול מאחד. המחקר המודרני מחזק השערה זו בטיעון כי אדם מודרני היה כותב "חמישית...והשאר", או את המונה והמכנה, כפי המקובל כיום: "ונתתם חמישית לפרעה, וארבע החמישיות יהיה לכם". איזכור ה"עשרון" בתנ"ך — "שלושה עשרונים לפר ושני עשרונים לאיל" (במדבר כח כ) — איננו סותר הנחה זו, משום שהעשרון הווה יחידת מידה, ואף נקרא לעתים בשם אחר, הלא הוא עמר: "וְהָעֹמֶר עֲשִׂרִית הָאֵיפָה הוּא" (שמות טז, לו). בכל הנוגע למספרים מעורבים, העברים נהגו לכתוב את השלם לפני השבר. דוגמה: "ועשו ארון עצי שטים, אמתיים וחצי אורכו, אמה וחצי רוחבו, ואמה וחצי קומתו" (שמות כה י).

השימוש באריתמטיקה בקרב בני ישראל היה רב, שכן זו היוותה כלי חשוב למתן תרומות ומעשרות, מיקח וממכר, הן עם ישראלים והן עם עמי האזור, גביית מס מארצות כבושות ועוד. איננו יודעים בוודאות כיצד ערכו העברים את חישוביהם, אך הסברה ההגיונית ביותר היא שבנוסף לעשר אצבעותיהם נעזרו באבקוס כמו המצרים והבבלים. אנו יודעים כי העברים השתמשו בעשר אצבעות ידיהם לביצוע חישובים מן הפסוק הבא, הנמצא במשנה:

"הממונה אומר להם: הצביעו! (הוציאו אצבעותיכם למניין) ומה הן מוציאין? אחת או שתיים; ואין מוציאין אגודל מקדש"

— יומא פרק ב משנה א

ישנם בתנ"ך תרגילי חשבון הערוכים במלואם, לדוגמה: "אולי יחסרון חמישים הצדיקים חמישה, התשחית בחמישה את כל העיר? ויאמר: לא אשחית אם אמצא שם ארבעים וחמישה" (בראשית יח כח), כלומר 45=50-5.

במקביל אליהם, מופיעים בתנ"ך אף תרגילי חשבון חלקיים. למשל, ישנם בתנ"ך מופעים בהם החסירו את אחד הגורמים, כמו: "וכי יגף שור איש את שור רעהו ומת, ומכרו את השור החי וחצו את כספו" (שמות כא לה). ישנם גם פעמים בהם נתונים הגורמים, אך התוצאה חסרה, כמו: "ראה זה מצאתי, אמרה קהלת, אחת לאחת למצוא חשבון" (קהלת ז' כז') ובלשון מתמטית: ?=1+1.

מושג האחוז היה נהוג כנראה בקרב העברים הקדומים, כפי שניתן להסיק מן הציטוט הבא: "וממחצית בני ישראל תיקח אחד אחוז מן החמישים מן האדם, מן הבקר, מן החמורים ומן הצאן..." (במדבר לא ל).

היחס אל האריתמטיקה כפי שמופיע בתורה ובכתבים מאוחרים יותר, הוא ברובו כאל כלי שימושי ולא כאל מדע מחקרי. ככל הנראה, קיבלו בני ישראל את מירב ידיעותיהם האריתמטיות מהעמים הסובבים אותם.

אריתמטיקה עברית מאוחרת יותר

תבנית:חלונית2 "משנת המידות", שחוברה על ידי רבי נחמיה, נחשבת לספר המתמטיקה העברי הראשון. ספר זה עוסק בחישובי שטחים ונפחים והשפיע, ככל הנראה, על עבודתו של אל-ח'ואריזמי בספרו הנודע "אלגברה".

במאה האחת העשרה והמאה השתים עשרה פורסמו מספר כתבים חשובים בנושא האריתמטיקה על ידי אברהם בר חייא (ראב"ח) ואברהם אבן-עזרא אשר סימנו את "לידתה" של המתמטיקה העברית. בר-חייא, יליד ברצלונה, אשר נחשב לאבי המדע העברי, חיבר אנציקלופדיה מדעית וחיבורים מתמטיים רבים, ביניהם "יסודי התבונה ומגדל האמונה" ו"חיבור המשיחה והתשבורת"^[11] השופכים אור על המחשבה המתמטית שהונהגה באותה תקופה בארצות האסלאם המערביות. בספר זה מופיע איזכור עברי ראשון לפונקציות הטריגונומטריות.

חיבורו של אבן עזרא, יליד ארגון, "ספר המספר", פרש לראשונה את הצגתה של מערכת ספירה עשרונית תלוית-מיקום הכוללת את האפס. בספר זה מוסברים עקרונות אריתמטיים חשובים כגון ארבע פעולות חשבון, שברים, פרופורציות ושורשים ריבועיים. הרמב"ם פיתח שיטה מתמטית לחישוב מופעי הירח.

המאה הארבע העשרה אופיינה בתנופת תרגום בה תורגמו יצירות חשובות לעברית, הכוללות בין היתר כתבים מרכזיים של תלמי, אוקלידס (ובכלל זה ספרו המפורסם "יסודות") ואבו איבן אל חיתאם. פרסום יצירות אלה "הכשיר את הקרקע" לכתיבת יצירות מקור עבריות. בתקופה זו פרסם המלומד היהודי מטולדו יהודה בן סלומון הכהן, ראשית בערבית, אנציקלופדיה מדעית בשם "מדרש החוכמה". חיבור מתמטי בעל נדבך אריתמטי מעניין מאוד מתקופה זו הוא "ספר המלכים" העוסק בתכונותיהם של מספרים טבעיים. לוי בן גרשום חיבר מספר כתבים בנושאים מדעיים, ביניהם אריתמטיקה. מספר שנים אחר כך עסק עמנואל בין יעקב בהצגתם של שברים עשרוניים ובתכונות המעגל.

המאה החמש-עשרה מאופיינת בהעברת עיקר "מרכז הכובד" המחקרי לאיטליה, שם המשיך תרגומן של יצירות חשובות. בין הבולטים מבין העוסקים במלאכה, ניתן למנות את מרדכי פינזי אשר תרגם את ספרו של אבו קאמיל "אלגברה" וחיבר את היצירה החשובה "מאמר בחשבון מדידות הגיגיות והחביות".

מבין יהודי האימפריה הביזנטית בולטת במיוחד עבודתם של אברהם קומטינו, מחבר "ספר החשבון והמידות", של אליהו מזרחי, מחבר "ספר המספר" ושל כלב אפנדופולו אשר תרגם את ספרו של ניקומכוס "מבוא לאריתמטיקה" לעברית.

גימטריה

ערך מורחב – גימטריה

גימטריה, מתן פרשנות למילה או למחרוזת מילים לפי סכום ערכן המספרי של האותיות, נפוצה מאוד בהלכה היהודית ובתורת הקבלה. כמו הרומים והיוונים, השתמשו חכמי התלמוד בעשרים ושתים אותיות האלפבית העברי לסימון מספרים.

הגימטריה משמשת כדרך לקבלת רמז להבנת הכתוב וככלי פרשני שולי נמצאה בשימוש התנאים והאמוראים במדרש, אך אין לומדים הלכות מגימטריה (אלא אם כן הן מקובלות במסורת כהלכה למשה מסיני). בברייתא של רבי אליעזר הגלילי היא נמנית עם המידות שהתורה נדרשת בהן באגדה.

בפרקי אבות, לעומת זאת, מודגש ערכה השולי של הגימטריה:

ר' אליעזר בן חסמא אומר: קינין ופתחי נידה הן גופי הלכות, תקופות וגימטריאות - פרפראות לחכמה.

— אבות, ג', י"ח

אותיות האלפבית העברי משמשות לכתיבת ספרות עבריות, לפי ערכן המספרי של האותיות המופיע בטבלה:

משמעות אותיות האלפבית העברי בגימטריה:
האות:	ת		ש		ר		ק		צ		פ		ע		ס		נ		מ		ל		כ		י		ט		ח		ז		ו		ה		ד		ג		ב		א
המספר:	400		300		200		100		90		80		70		60		50		40		30		20		10		9		8		7		6		5		4		3		2		1

לעתים נמצא בהלכה היהודית ערכים נפרדים לאותיות מנצפ"ך, כך שמתקיים: ך=500 ,ם=600 ,ן=700, ף=800 ,ץ=900.

אירופה מימי הביניים ועד לתום תקופת הרנסאנס

לאחר שקיעתה של תרבות יוון העתיקה, התפתחות האריתמטיקה כפרט והמתמטיקה בכלל באירופה נעצרה כליל. הסיבה לכך הייתה התפשטות הכנסייה הקתולית ברוב אזורי אירופה. ההתפתחות המדעית קפאה על שמריה, שכן בימי הביניים רובם המוחלט של האנשים המשכילים היו אנשי הכנסייה שדגלה בכפיית "משטר מחשבתי", ומשום שלא נערכו מחקרים מדעיים, לא היה צורך במתמטיקה לשם חישובים מורכבים. לכן, התעניינו אנשי אירופה של ימי הביניים באריתמטיקה לצורך חישובים יומיומיים בלבד, כגון מחירי סחורות, תרומות ומעשרות לכנסייה וכו'.

האירופאים השתמשו בשיטת הספירה הרומית, וכן בידע האריתמטי של הרומים, שנלקח כולו מתרבות יוון. לרומים היה מחסור בבסיס אריתמטי מוצלח, והם לקחו מהיוונים רק את האריתמטיקה המועטה לה היו זקוקים בחיי היום-יום.

עוד עיכוב בהתפתחות האריתמטיקה באירופה של ימי הביניים נבע מהסרבול שבחשבון בשיטה הרומית שהצריכה משאבים רבים.

רוב ההתפתחות המתמטית באותה תקופה הייתה בארצות ערב, בהודו ובסין אשר הייתה מבודדת יחסית מאירופה. הערבים שילבו את המתמטיקה של היוונים אשר התבססנה ברובה על עקרונות גאומטריים עם המתמטיקה הההודית שהתבססה ברובה על עקרונות אלגבריים, באותה התקופה, ואף הגיעו בעצמם להישגים ניכרים. השפעת המדענים המוסלמים על מדעני ספרד היהודים, הייתה גדולה ומכרעת. הידע הועבר למדע היהודי בספרד ומשם לאירופה - מאחר שהיהודים ידעו ערבית וספרדית (שפה שהתפתחה מן הלטינית) הייתה להם היכולת לתרגם את הידע ללטינית. האדם שהעביר את השיטה העשרונית ממקורות יהודים או ישירות מהמתמטיקה הערבית למתמטיקה הלטינית-נוצרית במערב אירופה היה לאונרדו מפיזה, הידוע גם בשם "פיבונצ'י". ספרו ה"חשבונייה" היה הראשון באירופה, מלבד ספרד, בה הוצגה השיטה העשרונית. הלכה למעשה, היווה ספר זה סיכום של כל הידע האריתמטי המרכזי עד לאותה התקופה. מושג האפס גם הוא יובא על ידי פיבונצ'י, ונראה לראשונה במערב באחד מספריו.

בתקופת הרנסאנס החלה "תחייה" של המדעים והאומנויות באירופה. כחלק מההתחדשויות המדעיות, החלה לעלות בשנית קרנה של המתמטיקה שהפכה שוב לגוף ידע נצרך. הדבר הוביל להתעניינות מחודשת אף באריתמטיקה בפרט ואנשי התקופה המשיכו בחקר אריתמטי ושיפור, סיכום ופיתוח הידע שנצבר לפניהם.

העת החדשה

כריכת ספרו החשוב של גאוס "Disquisitiones Arithmeticae"

בהאצת מהפכת הדפוס, התקיים תהליך של האחדה בינלאומית בסימונים ובשיטות האריתמטיות והתקבעה מערכת אריתמטית תקנית הכוללת כתיבה בספרות הודיות, שימוש בבסיס העשרוני לצורכי חישוב יום-יומיים ולרב הכתיבה המדעית והטכנולוגית ומערכת מוסכמת של סימונים שונים לצורכי הכתיבה האריתמטית. בד בבד לשימוש במערכת זו, נכנסו לשימוש מערכות כתיבה נוספות המשמשות בעיקר בתחומי המדע והטכנולוגיה, כגון הבסיס הבינארי וההקסדצימלי. הבסיס הבינארי, בו ישנן שתי ספרות - 0 ו- 1, פותח על ידי לייבניץ במאה ה-17 ונכנס לשימוש רב בעת החדשה בעיקר במערכות אלקטרוניקה ספרתית ובמחשבים, שם הוא משמש כשפת מכונה.

ההתפתחות המתמטית בעת המודרנית הרחיבה את מושג ה"אריתמטיקה" באופן שהוא איננו עוסק עוד אך ורק בפעולות חישוב אלמנטריות, אלא כולל גם תחומים משיקים או קרובים, כך שגבולותיו כיום אינם מוגדרים לחלוטין. המינוח "אריתמטיקה", בראי מודרני, יכול להתייחס אף לתחומים כגון תורת המספרים, גאומטריה אלגברית או אף תחומים נוספים.

מגאוס ואילך- אריתמטיקה בראי מודרני

בשנת 1801 פרסם המתמטיקאי קארל פרידריך גאוס את ספרו Disquisitiones Arithmeticae (בעברית: "מחקרים אריתמטיים") בו דן בנושאים מרכזיים באריתמטיקה, בין היתר דן בספרו גם בבעיות של משוואות ריבועיות ו"בנייה בסרגל ומחוגה" עליהן אמר:

התאוריה של חלוקת המעגל בפני עצמה ... איננה שייכת לתחום האריתמטיקה, אך עקרונותיה משליכים על אריתמטיקה גבוהה.

אותם עקרונות המתמטיקה הגבוהה בהם דן גאוס בספרו היוו מקור להתעניינותם של מתמטיקאים נוספים אשר שאפו בחלקם לבסס את יסודותיהם של ענפים שונים במתמטיקה, בעיקר האנליזה, על מצע של אריתמטיקה איתנה^[12]. מתמטיקאים כדוגמת ארנסט קומר, לאופולד קרונקר, וויליאם ווטרהאוס ואחרים העמיקו, חקרו וביססו את האריתמטיקה המודרנית. על כך אמר המתמטיקאי דיוויד הילברט כי המתמטיקה של המאה התשע-עשרה התפתחה "בסימן המספרים". המתמטיקאי הגרמני פליקס קליין השתמש במינוח "אריתמטיזציה של המתמטיקה". קרונקר ודיריכלה טענו כי בסופו של יום, כל טענה באלגברה או באנליזה מבוססת על תכונותיהם של המספרים הטבעיים.

צעד חשוב נוסף לקראת ביסוס האנליזה המודרנית על בסיס אריתמטי איתן ניתן בעבודותיהם של גיאורג קנטור, אוגוסטן לואי קושי ושל ריכרד דדקינד אשר הציגו בעבודותיהם מבט חדשני על מהותם של מספרים. אחת הדוגמאות להתקדמות שכזו היא, למשל, פיתוחם של חתכי דדקינד. כמו כן, בוצעה התקדמות בעיצובם של אובייקטים מתמטיים כגון סדרות. כיום, משפטים והגדרות רבים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, למשל, ניתנים להצגה על ידי מאפייניהן של סדרות.

עבודתו של המקיפה צ'ארלס הרמיט בהשראת כתביו של גאוס, לגראנז' ושל יעקבי הרימה אף היא תרומה משמעותית לפיתוח האריתמטיקה המודרנית ולתחומים המשיקים לה. המתמטיקאי הרוסי איגור זולוטרב תרם תרומה נוספת להבנתם של המספרים האלגבריים.

הרמן מינקובסקי פיתח את "גאומטריית המספרים" שהיא ענף חשוב באריתמטיקה המודרנית.

התפתחות סימני הפעולות

במקביל להתפתחות מערכות הספירה וסימני הספרות, גם סימוני הפעולות עברו התפתחות ארוכה במרוצת השנים, עד להתקבעות הסימונים המוסכמים כפי שהם מוכרים כיום. בתחילת דרכה של האריתמטיקה, ייוצגו רוב הבעיות מילולית ולא בעזרת סימנים מתמטיים מיוחדים. סימנים לחבור וחיסור הונהגו כבר במצרים העתיקה, בעיקר כחלק משיטת הכתיבה השברית בה נהגו המצרים הקדמונים ^[13]. הראשון להכניס סימוני פעולות מוסכמים לשימוש נרחב יותר היה דיופנטוס אשר הכניס סימונים מקוצרים בדמות אותיות לציון פעולת החזקה כאשר חיסור בוטא על ידי הסימן ψ וחיבור על ידי כתיבת המספרים זה לצד זה.

ההודים נהגו לסמן חיסור על ידי נקודה מעל המחוסר וכפל על ידי קיצור המילה המתאימה בהודית. שברים סומנו על ידי כתיבת המכנה מתחת למונה ללא קו שבר. חזקות שונות יוחסו לצבעים שונים כך שסימון החזקה בוצע על ידי קיצורי מילים של שם הצבע.

לוקה פאצ'ולי השתמש באות p (האות הראשונה של המילה plus) כדי לסמן את פעולת החיבור, באות m (האות הראשונה של המילה minus) כדי לסמן חיסור, בסימן co (האותיות הראשונות של המילה cosa שמשמעה "משהו") כדי לסמן נעלם, בסימן ce כדי לסמן נעלם בריבוע, cu על מנת לסמן נעלם בשלישית, ae (קיצור של aequalis, שוויון) על מנת לסמן שוויון ובאות r (האות הראשונה של radix) על מנת לסמן שורש ריבועי, סימן שהתפתח לבסוף לסימון המוכר "√".

סימן האחוז התפתח בהדרגה מקיצור המילה "per cento" שמשמעותה "למאה" לאות p. הסימון המשיך להתפתח ובסביבות השנה 1650 הופיע כבר בתור הסימן " ${\frac {\circ }{\circ }}$ ". עם השנים, הוטה הקו ונהפך לסימן המוכר כיום: "%".

ישנה מחלוקת לגבי מקור הסימונים המודרניים המשמשים לחיבור וחיסור. ההשערה המקובלת בנוגע לסימן החיבור היא כי התפתח כקיצור למילה הלטינית "et" שמשמעותה "וגם" כאשר נכתבו הבעיות בצורה מילולית, בדומה להתפתחות הליגטורה "&". בנוגע לסימן החיסור, השערה אחת היא כי התפתח מאחד הסימנים אשר שימשו בכתיבה האיטלקית כסימונים מקוצרים לפעולת החיסור: ${\tilde {m}}$ או ${\bar {m}}$ , אולי אף מהאות m עצמה^[14]. השערה נוספת היא כי הסימון התפתח מהסימון ההודי של נקודה מעל המחוסר.

רוברט רקורד הכניס לשימוש את סימונם של שני קווים אופקיים מקבילים באורך זהה בתור סימן השוויון כאשר כסיבה לכך כתב:

מפני שאין שני דברים שיכולים להיות יותר שווים זה לזה.

המתמטיקאי האנגלי תומאס האריוט הכניס לשימוש את הסימונים >, < ו- $\cdot$ (עבור כפל), את האחרון בהשפעתו של כריסטופר קלאוויוס. וויליאם אאוטרד הכניס את השימוש בסימן × עבור כפל, כאשר כיום שניהם נמצאים בשימוש. כמו כן, שמורה לאאוטרד הזכות על הכנסת השימוש בסימנים "≠" לציון אי-שוויון ו-"::" לציון פרופורציה. גוטפריד וילהלם לייבניץ הכניס לשימוש את סימון החזקה המודרני.

ראו גם

לקריאה נוספת

אוסף מקורות לקורס "תולדות המתמטיקה", בהוצאת המכללה לחינוך על שם קיי בבאר שבע
האנציקלופדיה העברית, ע"ע אריתמטיקה ומתמטיקה
רוזנבוים, רחל: חכמת התשבורת: המתמטיקה באספקלריה יהודית, ירושלים: מוסד הרב קוק, תשס"ג 2003
צרפתי, גד בן-עמי, מונחי המתמטיקה המדעית העברית של ימי הביניים, ירושלים: י"ל מאגנס, תשכ"ט 1968
שמעון דגן (בעריכת ד"ר דב ירדן), תולדות המתמטיקה הקדומה, הוצאת דביר, 1955

The shaping of arithmetic: after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, Catherine Goldstein, Norbert Schappacher, Joachim Schwermer, editors. Berlin New York: Springer, 2007
Encyclopaedia of the history of science, technology, and medicine in non-western cultures, editor: Helaine Selinm, Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic, c1997

קישורים חיצוניים

The MacTutor History of Mathematics archive
Harry Foundalis, Greek Numbers and Numerals (Ancient and Modern)
Douglas Weaver with the assistance of Anthony D. Smith, The History of Mathematical Symbols
Earliest Uses of Various Mathematical Symbols

הערות שוליים

^ בערך זה יפורטו שלבים אלה בפרקים המיוחסים לתרבויות אשר הרימו תרומה משמעותית לפיתוח המושג.
^ ראו התפתחות קוגניטיבית למידע נוסף.
^ כפי שנראה בהמשך, המצרים לא השתמשו במונח המדויק אפס כשלעצמו, אלא רק כחלק ממספר גדול.
^ ניתן לראות כי המספרים 1 עד 9 כתובים בכתב יתדות, ללא שינוי ניכר מהתקופה הפרהיסטורית.
^ כיום, כאשר ידוע שפאי הנו טרנסצנדנטי, ניתן להסיק מכך שלא ניתן למצוא לבעיה זו פתרון מדויק, אלא מקורב לכל היותר.
^ בדומה לדרך בה האיצו צורכי הדת ההודית את פיתוחם של עקרונות גאומטריים, כפי שמתואר שלעיל.
^ בדומה ל"יסודות" של אוקלידס.
^ הפתרון לשאלה זו הוא $\ {\frac {15}{74}}$ ימים. הוכחת הפתרון: נגדיר את ההספק P של כל צינור $\ P={\frac {W}{t}}$ כך שה"עבודה" W תמדד ביחידות של "מקווה" והזמן t ביחידות "יום". כיוון שהעבודה קבועה עבור כל צינור ושווה למקווה אחד, הספקו של כל צינור יהיה הגודל ההופכי לזמן בו לוקח לו להתמלא. כך, הספקו של הצינור הראשון ביחידות מקווה/יום יהיה 3, השני 1, השלישי 2/5, הרביעי שליש והחמישי חמישית. כאשר כולם מחוברים ביחד מתקבלת, על ידי ההגדרה $\ W=t\cdot P$ , המשוואה הבאה: $3t+t+{\frac {2}{5}}t+{\frac {1}{3}}t+{\frac {1}{5}}t=1$ . תוצאת המשוואה היא $\ t={\frac {15}{74}}$ .
^ יש לציין כי ברוב שיטות הספירה תלויות המיקום, מתבצע חישוב ערכו של המספר $\ a_{n}a_{n-1}a_{n-2}...a_{0}.a_{-1}a_{-2}...a_{m}$ בצורה $\ a_{n}\times k^{n}+a_{n-1}\times k^{n-1}+a_{n-2}\times k^{n-2}+...+a_{0}\times k^{0}+a_{-1}\times k^{-1}+a_{-2}\times k^{-2}+...+a_{-m}\times k^{-m}$ , ולא כמתואר לעיל (להרחבה ראו ערך בסיס).
^ ובניסוח מתמטי מדויק יותר: המספר p המקיים p>1 הוא מספר ראשוני אם ורק אם מתקיים $(p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ p)$ .
^ "תשבורת", בהקשר זה, היא "שבירת" השטח לחלקים קטנים לצורך חישובו, בדומה לרעיון האינטגרציה המודרני.
^ בהקשר זה ניתן לציין בשנית כי בראשית ההתפתחות המתמטית, כפי שפורט לעיל בפירוט, התבססו הנחות מתמטיות רבות על בסיס תורות והנחות גאומטריות ביסודן.
^ להרחבה, ר' פסקה בנושא "מצרים העתיקה" בערך זה.
^ באותה המידה, היו נהוגים הסימונים המקבילים ${\tilde {p}}$ או ${\bar {p}}$ עבור חיבור.

ערך מומלץ

[1] בערך זה יפורטו שלבים אלה בפרקים המיוחסים לתרבויות אשר הרימו תרומה משמעותית לפיתוח המושג.

[2] ראו התפתחות קוגניטיבית למידע נוסף.

[3] כפי שנראה בהמשך, המצרים לא השתמשו במונח המדויק אפס כשלעצמו, אלא רק כחלק ממספר גדול.

[4] ניתן לראות כי המספרים 1 עד 9 כתובים בכתב יתדות, ללא שינוי ניכר מהתקופה הפרהיסטורית.

[5] כיום, כאשר ידוע שפאי הנו טרנסצנדנטי, ניתן להסיק מכך שלא ניתן למצוא לבעיה זו פתרון מדויק, אלא מקורב לכל היותר.

[6] בדומה לדרך בה האיצו צורכי הדת ההודית את פיתוחם של עקרונות גאומטריים, כפי שמתואר שלעיל.

[7] בדומה ל"יסודות" של אוקלידס.

[8] הפתרון לשאלה זו הוא $\ {\frac {15}{74}}$ ימים. הוכחת הפתרון: נגדיר את ההספק P של כל צינור $\ P={\frac {W}{t}}$ כך שה"עבודה" W תמדד ביחידות של "מקווה" והזמן t ביחידות "יום". כיוון שהעבודה קבועה עבור כל צינור ושווה למקווה אחד, הספקו של כל צינור יהיה הגודל ההופכי לזמן בו לוקח לו להתמלא. כך, הספקו של הצינור הראשון ביחידות מקווה/יום יהיה 3, השני 1, השלישי 2/5, הרביעי שליש והחמישי חמישית. כאשר כולם מחוברים ביחד מתקבלת, על ידי ההגדרה $\ W=t\cdot P$ , המשוואה הבאה: $3t+t+{\frac {2}{5}}t+{\frac {1}{3}}t+{\frac {1}{5}}t=1$ . תוצאת המשוואה היא $\ t={\frac {15}{74}}$ .

[9] יש לציין כי ברוב שיטות הספירה תלויות המיקום, מתבצע חישוב ערכו של המספר $\ a_{n}a_{n-1}a_{n-2}...a_{0}.a_{-1}a_{-2}...a_{m}$ בצורה $\ a_{n}\times k^{n}+a_{n-1}\times k^{n-1}+a_{n-2}\times k^{n-2}+...+a_{0}\times k^{0}+a_{-1}\times k^{-1}+a_{-2}\times k^{-2}+...+a_{-m}\times k^{-m}$ , ולא כמתואר לעיל (להרחבה ראו ערך בסיס).

[10] ובניסוח מתמטי מדויק יותר: המספר p המקיים p>1 הוא מספר ראשוני אם ורק אם מתקיים $(p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ p)$ .

[11] "תשבורת", בהקשר זה, היא "שבירת" השטח לחלקים קטנים לצורך חישובו, בדומה לרעיון האינטגרציה המודרני.

[12] בהקשר זה ניתן לציין בשנית כי בראשית ההתפתחות המתמטית, כפי שפורט לעיל בפירוט, התבססו הנחות מתמטיות רבות על בסיס תורות והנחות גאומטריות ביסודן.

[13] להרחבה, ר' פסקה בנושא "מצרים העתיקה" בערך זה.

[14] באותה המידה, היו נהוגים הסימונים המקבילים ${\tilde {p}}$ או ${\bar {p}}$ עבור חיבור.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-[[תמונה:Rotschild canticles Septem artes liberales 1.jpg|שמאל|ממוזער|300px|האריתמטיקה נכללת עם [[שבע האמנויות החופשיות]] ונתפסה בעבר, ואף כיום, כחלק בסיסי מהידע של כל אדם משכיל. ניתן למצוא את הדמות המסמלת את האריתמטיקה בפינה התחתית-שמאלית של התמונה כאשר היא עסוקה ב[[מנייה|מניית]] חפצים. לצדה הדמות המייצגת את ה[[גאומטריה]] כשהיא עסוקה במדידת זווית. בפינה הימנית-עליונה מופיעה הדמות המייצגת את ה[[אסטרונומיה]] כשהיא צופה בכוכבים, ובשמאלית-עליונה דמות המציגה את ה[[דקדוק]] בדמות מורה המעניש את תלמידו. לא אחת, היו ההתפתחויות באסטרונומיה ובגאומטריה מובילות להתפתחויות באריתמטיקה, ולהיפך.]]
+[[תמונה:Rotschild canticles Septem artes liberales 1.jpg|שמאל|ממוזער|250px|האריתמטיקה נכללת עם [[שבע האמנויות החופשיות]] ונתפסה בעבר, ואף כיום, כחלק בסיסי מהידע של כל אדם משכיל. ניתן למצוא את הדמות המסמלת את האריתמטיקה בפינה התחתית-שמאלית של התמונה כאשר היא עסוקה ב[[מנייה|מניית]] חפצים. לצדה הדמות המייצגת את ה[[גאומטריה]] כשהיא עסוקה במדידת זווית. בפינה הימנית-עליונה מופיעה הדמות המייצגת את ה[[אסטרונומיה]] כשהיא צופה בכוכבים, ובשמאלית-עליונה דמות המציגה את ה[[דקדוק]] בדמות מורה המעניש את תלמידו. לא אחת, היו ההתפתחויות באסטרונומיה ובגאומטריה מובילות להתפתחויות באריתמטיקה, ולהיפך.]]
 ה[[אריתמטיקה]] היא הענף העתיק ביותר ב[[מתמטיקה]] ואחד השימושיים שבו לצורכי יום-יום. ה'''היסטוריה של האריתמטיקה''' משתרעת על פני תקופות שונות, [[תרבות|תרבויות]] ומקומות שונים בהם התפתח ענף זה. בחלק מהמקרים היו אלה התפתחויות שנצברו על סמך ניסיון רב-שנים ובחלק מהמקרים היו אלה פירות מחקר של [[מתמטיקאי|מתמטיקאים]]. עד ל[[העת החדשה|עת החדשה]] התפתחה האריתמטיקה באופן שונה באזורים גאופוליטיים שונים, ולפיכך כרוכה היסטוריה זו גם בהיסטוריה ה[[דת|דתית]], ה[[חברה|חברתית]] והגאופוליטית של מקומות אלה. כך, למשל, עם כיבוש ה[[בבל]]ים את [[מסופוטמיה]], ירשו אלה את השימוש ב[[בסיס סקסגסימלי|בסיס 60]] מקודמיהם ה[[אשור]]ים. כדוגמה נוספת, רוחבית, ניתן להסתכל על מושג ה[[0 (מספר)|אפס]]. פיתוחו, כפי שהוא מוכר היום, עבר שלבים רבים והושפע רבות מהקשיים התפיסתיים, הדתיים והפילוסופיים שעורר בתרבויות השונות; מתפקידו כ"מקום ריק" למספר עצמאי בעל תכונות מיוחדות עבר האפס גלגולים ופיתוחים שונים<ref>בערך זה יפורטו שלבים אלה בפרקים המיוחסים לתרבויות אשר הרימו תרומה משמעותית לפיתוח המושג.</ref>.
@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 ==התקופה הפרהיסטורית==
-[[תמונה:Ishango bone.jpg|שמאל|ממוזער|300px|עצם האישנגו מצולמת משני צדדיה]]
+[[תמונה:Ishango bone.jpg|שמאל|ממוזער|250px|עצם האישנגו מצולמת משני צדדיה]]
 כבר ב[[פרהיסטוריה|עידן הפרהיסטורי]], [[האדם הנבון]] החל להבין את רעיונות המספר והחישוב, כנראה בעקבות הצורך בהגדרת בסיס להכללת עצמים. האדם החל לפתח במוחו דרכים לחישוב יעיל ופשוט, והשתמש בידיו כ"אמצעי מכליל" שבאמצעותו יוכל לחשב את העצמים שברשותו. לדוגמה, אם ברשותו הייתה אבן, והיה לו צורך בעוד אבן, הוא קישר בין האבנים לבין עצם אחר שברשותו, למשל אצבעותיו. הוא הבין שעליו להביא אבנים באותה כמות של אצבעותיו שקישר לאבנים.
@@ שורה 154: / שורה 154: @@
 ==בבל==
-[[תמונה:Babylonian numerals.jpg|שמאל|ממוזער|460px|[[ספרות בבליות|הספרות הבבליות]] – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים.]]
+[[תמונה:Babylonian numerals.jpg|מרכז|ממוזער|460px|[[ספרות בבליות|הספרות הבבליות]] – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים]] {{-}}
+בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור [[מסופוטמיה]] ה[[אשור|אשורים]] אשר עשו שימוש ב[[כתב יתדות]] וערכו את חישוביהם ב[[בסיס סקסגסימלי|בסיס 60]]. בין השנים 2300 ל- 2100 לפנה"ס שלטו באזור זה ה[[אכד|אכדים]] אשר השפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לכלי המוכר לנו כיום יותר בתור ה"חשבונייה". בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו ה[[בבל|בבלים]] את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה. להשערות בדבר בחירת המספר 60 כבסיס ראו ערך [[בסיס סקסגסימלי]].
+[[ספרות בבליות|שיטת הספירה הבבלית]] הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: ה[[בבל|בבלים]] קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה ל[[השיטה העשרונית|שיטה העשרונית]] בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, [[בסיס סקסגסימלי|60]]. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה).
-בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור [[מסופוטמיה]] ה[[אשור|אשורים]] אשר עשו שימוש ב[[כתב יתדות]] וערכו את חישוביהם ב[[בסיס סקסגסימלי|בסיס 60]]. בין השנים 2300 ל- 2100 לפנה"ס שלטו באזור זה ה[[אכד|אכדים]] אשר השפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לכלי המוכר לנו כיום יותר בתור ה"חשבונייה". בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו ה[[בבל|בבלים]] את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה. להשערות בדבר בחירת המספר 60 כבסיס ראה ערך [[בסיס סקסגסימלי]].
-[[ספרות בבליות|שיטת הספירה הבבלית]] הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: ה[[בבל|בבלים]] קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה ל[[השיטה העשרונית|שיטה העשרונית]] בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, [[בסיס סקסגסימלי|60]]. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראה תמונה).
 החידוש המשמעותי בהכנסת שיטה זו לשימוש הוא בקיצור ההצגה של מספרים גדולים. בעוד ובשיטות שהן קיבוציות בלבד יש צרך בסימנים רבים על מנת להציג מספרים גדולים יחסית, בשיטות הכוללות קישור בין מיקום הספרה לסדר הגודל שלה, ישנו חיסכון יחסי במספר הספרות הדרושות להצגת המספר.
@@ שורה 301: / שורה 300: @@
 איש המאה ה-16, מתאוס הוסטוס, הניח כי האות V מסמלת יד פתוחה, כאשר כל זוג אצבעות, למעט האגודל, צמודות, ומכאן שהאות X היא שתי ידיים שכאלה. ישנה גם סברה כי X מצביע על ההרגל להעביר שני קווים מוצלבים על עשר יחידות כתובות, ואם כך, ה-V נובע כחצי מהקו המוצלב.
 ההיסטוריון הגרמני [[תאודור מומזן]], שהיה מומחה להיסטוריה של [[האימפריה הרומית]], הוא זה שסבר כי האות C היא ראשי תיבות של centum (מאה) וכי M היא ראשי תיבות של mille (אלף). ייתכן כי האותיות L ו-D נבחרו כי הן האותיות הכי דומות מתוך האלפבית הרומי לחציהן המדויק של C (חצי ממאה-חמישים), ו-M בהתאמה.
 למספרים גדולים השתמשו  הרומאים בקו עליון מעל הספרה, המסמל למעשה את הכפלתה ב-1,000.
@@ שורה 347: / שורה 345: @@
 ובכתיב מתמטי <math>\sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{3}(1+ \frac{1}{4}(1 - \frac{1}{34})) = \frac{577}{408} \approx 1.4142156</math>. הקירוב מדויק עד הספרה החמישית אחרי הנקודה (זהו השבר הקרוב ביותר ל-<math>\ \sqrt{2}</math> מבין כל השברים שהמכנה שלהם קטן מ- 985). לא ידוע לנו כיום כיצד הושג דיוק מרשים זה, אך ישנן מספר השערות בנושא.
-[[תמונה:Indian numerals 100AD.gif|מסגרת|שמאל|גרסה של ספרות ברהאמיניות כפי שהיו מקובלות במאה הראשונה לפנה"ס.]]
+[[תמונה:Indian numerals 100AD.gif|מסגרת|שמאל|250px|גרסה של ספרות ברהאמיניות כפי שהיו מקובלות במאה הראשונה לפנה"ס]]
-בערך בסביבות המאה השלישית לפנה"ס, החלו להופיע ה[[ספרות ברהאמיניות|ספרות הברהאמיניות]] (ראה איור). ספרות אלה הן היסוד לספרות המוכרות לנו כיום מהשימוש ב[[השיטה העשרונית|שיטה העשרונית]]. הסימנים המוכרים לנו כיום התקבעו במאה החמש העשרה, בין היתר הודות לצורך במערכת מוסכמת שבא בעקבות [[מהפכת הדפוס]]. ישנן מספר השערות בנוגע לדרך בה אימצו ההודים את השילוב של [[השיטה העשרונית|בסיס עשרוני]] עם העקרון של סדר גודל התלוי במיקום הספירה. השערה אחת מתבססת על העובדה שהראשונים לקשר בין מיקום הסדרה לסדר הגודל שלה היו הבבלים. לפי השערה זו, העיקרון הועבר להודים על ידי היוונים כאשר ההודים "שילבו" אותו עם השימוש בבסיס ספירה עשרוני. השערה אחרת רואה בפיתוח התבססות על השיטה הסינית. השערה שלישית טוענת כי ההודים הגיעו לרעיון זה לבדם ללא גורם מתווך.
+בערך בסביבות המאה השלישית לפנה"ס, החלו להופיע ה[[ספרות ברהאמיניות|ספרות הברהאמיניות]] (ראו איור). ספרות אלה הן היסוד לספרות המוכרות לנו כיום מהשימוש ב[[השיטה העשרונית|שיטה העשרונית]]. הסימנים המוכרים לנו כיום התקבעו במאה החמש העשרה, בין היתר הודות לצורך במערכת מוסכמת שבא בעקבות [[מהפכת הדפוס]]. ישנן מספר השערות בנוגע לדרך בה אימצו ההודים את השילוב של [[השיטה העשרונית|בסיס עשרוני]] עם העקרון של סדר גודל התלוי במיקום הספירה. השערה אחת מתבססת על העובדה שהראשונים לקשר בין מיקום הסדרה לסדר הגודל שלה היו הבבלים. לפי השערה זו, העיקרון הועבר להודים על ידי היוונים כאשר ההודים "שילבו" אותו עם השימוש בבסיס ספירה עשרוני. השערה אחרת רואה בפיתוח התבססות על השיטה הסינית. השערה שלישית טוענת כי ההודים הגיעו לרעיון זה לבדם ללא גורם מתווך.
 על חשיבותה של שיטת הספירה ההודית אמר [[פייר סימון לפלס]] את הדברים הבאים:
@@ שורה 386: / שורה 384: @@
 <math> \ 12+1 \times 20 + 3 \times 18 \times 20 + 14 \times 18 \times 20^2 + 8 \times 18 \times 20^3 = 1253912
 </math>.<ref>יש לציין כי ברוב שיטות הספירה תלויות המיקום, מתבצע חישוב ערכו של המספר <math> \ a_n a_{n-1} a_{n-2} ... a_0 .a_{-1} a_{-2} ... a_m </math> בצורה
-<math> \ a_n \times k^n+a_{n-1} \times k^{n-1}+a_{n-2} \times k^{n-2} + ... + a_0 \times k^0 + a_{-1} \times k^{-1}+ a_{-2} \times k^{-2}+ ... +a_{-m} \times k^{-m}</math>, ולא כמתואר לעיל (להרחבה ראה ערך [[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]]). </ref>
+<math> \ a_n \times k^n+a_{n-1} \times k^{n-1}+a_{n-2} \times k^{n-2} + ... + a_0 \times k^0 + a_{-1} \times k^{-1}+ a_{-2} \times k^{-2}+ ... +a_{-m} \times k^{-m}</math>, ולא כמתואר לעיל (להרחבה ראו ערך [[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]]). </ref>
 אצל בני המאיה התקיים קשר הדוק בין שיטת הספירה ל[[לוח השנה של המאיה|לוח השנה]]; אנשי המאיה עשו שימוש בשני לוחות שנה נפרדים: אחד בן 260 ימים אשר שימש לצרכים פולחניים וכלל 13 חודשים בני 20 יום כל אחד ואחד בן 365 ימים אשר שימש למטרות אזרחיות וכלל 18 חודשים בני 20 יום כל אחד ועוד "חודש" בין חמישה ימים.