טופולוגיה

טבעת מביוס, עצם בעל משטח יחיד: מבנים כאלה הם נושא למחקר בטופולוגיה

טופולוגיה היא ענף במתמטיקה העוסק בחקר אותן תכונות של המרחב הנשמרות תחת דפורמציות רציפות. הטופולוגיה התפתחה מהגאומטריה, אבל שלא כמו גאומטריה, עניינה של הטופולוגיה אינו בחקר תכונות של המרחב שמקורן במושג המטריקה כגון המרחק בין נקודות. במקום זאת, טופולוגיה מעורבת במחקר של אותן תכונות של המרחב המתארות את האופן שבו הוא מקובץ יחדיו, כגון קשירות ואורינטביליות. טופולוגיה מונחת ביסוד המחקר המנסה לענות לשאלות הנוגעות למונח גאומטריה של המיקום במובנו האמיתי של המונח.

המילה טופולוגיה פירושה גם תחום של מחקר וגם משפחה של איברים בעלי תכונות מסוימות המגדירות מרחב טופולוגי, האובייקט הבסיסי ביותר הנחקר בטופולוגיה. בעלי חשיבות מסוימת בטופולוגיה הם אותן הדפורמציות הנקראות הומומורפיזם. בצורה לא פורמלית, ניתן לומר שהומומורפיזמים הם פונקציות המעוותות את המרחב, מותחות או מכווצות אותו, אך לא קורעות אותו או מחברות חלקים מנוגדים יחדיו. רעיון מרכזי ומופשט יותר הקשור בדפורמציות הוא שקילות הומוטופית, שגם לו תפקיד מרכזי בטופולוגיה.

כאשר הדסיצפלינה אובחנה לראשונה כיאות, לקראת סוף המאה ה-19, היא נקראה geometria situs (לטינית: גאומטריה של המקום) ו-analysis situs (לטינית: אנליזה של המקום). משנת 1925 עד שנת 1975 היא הייתה תחום חשוב מתפתח בתוך המתמטיקה.

טופולוגיה היא ענף רחב של המתמטיקה שיש לו תתי-תחומים רבים. החלוקה הבסיסית והמסורתית ביותר של טופולוגיה היא: טופולוגיה קבוצתית שמתבססת על ההיבטים היסודיים של הטופולוגיה וחקרת מושגים כגון קומפקטיות וקשירות, טופולוגיה אלגברית, שבאופן כללי מנסה למדוד דרגות של קשירות באמצעות בניות אלגבריות כגון חבורות הומוטופיה והומולוגיה, וטופולוגיה גאומטרית, שחוקרת בעיקר יריעות ואת השיכונים שלהן ביריעות אחרות. אחד מתחומי המחקר הפעילים ביותר, כגון טופולוגיה בממדים נמוכים, אינו נחשב תחום מחקר סדיר מספיק כך שייחשב ענף של הטופולוגיה.

ראו גם: גלריית טופולוגיה להגדרות של כמה מן המונחים בטופולוגיה ואת הערך מרחב טופולוגי, לטיפול טכני מדויק יותר בנושא.

היסטוריה

הגשרים של קניגסברג היא בעיה מפורסמת שנפתרה על ידי אוילר

הענף של מתמטיקה שכעת נקרא טופולוגיה התפתח מחיפוש אחר פתרון של בעיות מסוימות בגאומטריה. מאמרו של אוילר משנת 1736 על שבעת הגשרים של קניגסברג נחשב לאחת התוצאות הטופולוגיות הראשונות.

המונח "topologie" הוצג לראשונה בגרמניה על ידי יוהן בנדיקט ליסטינג. למעשה, הוא השתמש במונח הזה כבר עשר שנים קודם בהתכתבות."topology", הגרסה האנגלית של המילה, הוצגה בשנת 1883 בג'ורנל טבע על מנת להבדיל "גאומטריה איכותית מגאומטריה סטנדרטית בה מטפלים בעיקר ביחסים כמותיים". המונח טופולוגיסט במובן של מתמטיקאי המתמחה בטופולוגיה הוצג לראשונה ב-1905 במגזין ספקטטור.

טופולוגיה מודרנית ביותר מתבססת מאוד על רעיונות מתורת הקבוצות, שפותחו על ידי גאורג קנטור בחלקה המאוחר של המאה ה-19. קנטור, בנוסף להנחת היסודיים הרעיוניים של תורת הקבוצות, החשיב קבוצות של נקודות במרחב אוקלידי, כחלק מן המחקר שלו של טורי פורייה.

אנרי פואנקרה פרסם את המאמר analysis situs ב-1895, המציג את הרעיונות של הומוטופיה והומולוגיה, שכעת נחשבים חלק מטופולוגיה אלגברית.

מוריס פרשה, בעבודתו המאחדת את עבודתם על מרחבי פונקציות של קנטור, וולטרה, ארזלה, הדמרד, אסקולי ואחרים, הציג את המרחב המטרי ב-1906. מרחב מטרי כעת נחשב מקרה פרטי של מרחב טופולוגי כללי. ב-1914, פליקס האוסדורף טבע את המונח מרחב טופולוגי, ונתן את ההגדרה למה שכעת נקרא מרחב האוסדורף. בשימוש העכשווי, מרחב טופולוגי הוא אובייקט מעט כללי יותר ממרחב האוסדורף, שהגדרתו ניתנה לראשונה ב-1922.

להתפתחויות מאוחרות יותר, ראו טופולוגיה קבוצתית וטופולוגיה אלגברית.

הקדמה אלמנטרית

מרחבים טופולוגיים מופיעים בכמעט כל ענף של מתמטיקה. זה מה שעשה את הטופולוגיה לאחד הרעיונות הגדולים של המתמטיקה, רעיון שמאחד ענפים רבים.

התובנה שסיפקה תמריץ להתפתחות הטופולוגיה היא שכמה בעיות גאומטריות תלויות לא במבנה המדויק של העצמים המעורבים, אלא בדרך שבה הם מקובצים יחדיו. לדוגמה, לריבוע ולמעגל יש תכונות רבות במשותף (מנקודת מבט טופולוגית): שניהם עצמים חד-ממדיים ושניהם מחלקים את המישור לשני חלקים, חלק בתוכם וחלק מחוץ להם.

אחת מהתוצאות הראשונות בטופולוגיה הייתה הקביעה, בידי לאונרד אוילר, שזה בלתי אפשרי למצוא מסלול שעובר דרך העיר של קניגסברג (כעת קלינינגרד) שיחצה כל אחד משבעת הגשרים שלו בדיוק פעם אחת. תוצאה זו לא התבססה על אורך הגשרים, וגם לא על מרחקם אחד מהשני, אלא על תכונות הקשירות שלהם: אילו גשרים מחוברים לאילו איים או גדות נהר. בעיה זו, שבעת הגשרים של קניגסברג, היא כעת בעיה מפורסמת המוצגת רבות בהקדמות לקורסים במתמטיקה, והיא הוליכה לענף המתמטיקה הקרוי תורת הגרפים.

דפורמציה רציפה (הומוטופיה) בין ספל קפה לטורוס וחזרה

באופן דומה, משפט הכדור השעיר בטופולוגיה אלגברית טוען כי "לא ניתן לסרק את השיער שעל פני כדור כך שהשיער לא יבלוט, מבלי להשאיר קרחת". טענה זו מתקבלת על ידי רוב האנשים, אף על פי שהם עשויים לא לזהות את הניסוח המתמטי המדויק של המשפט , שאין שדה וקטורים משיקים רציף על הספירה שאינו מתאפס בנקודה אחת לפחות. כמו במקרה של הגשרים של קניגסברג, התוצאה לא מתבססת על גודלה המדויק של הספירה, היא נכונה גם עבור אגסים ולמעשה כל סוג של צורה חלקה, כל עוד אין לה חורים.

במטרה לעסוק בבעיות הללו שאינן מסתמכות על הצורה המדויקת של העצמים, נדרש להבהיר על אילו תכונות הבעיות הללו כן מסתמכות. מצורך זה נוצר המושג של הומומורפיזם. אי האפשרות לחצות כל גשר פעם אחת בדיוק מתקיים בכל סידור של הגשרים שהומאומורפי לזה שבקניגסברג, ואת משפט הכדור השעיר ניתן ליישם לכל מרחב שהומאומורפי לספירה.

באופן אינטואטיבי, שני מרחבים הם הומאומורפיים אם ניתן לעוות אחד מהשנים לצורה של השני מבלי לחתוך אותו או להדביק חלקים מנוגדים יחדיו. בדיחה ידועה מספרת כי טופולוגיסט אינו מבדיל בין ספל קפה לטורוס, ומכיוון שטורוס גמיש מספיק ניתן לעיוות לצורתו של ספל קפה (כפי שנראה בסרטון), באמצעות יצירת גומה והרחבה מתמשכת שלו, שבמהלכה מכווצים את החור לידית.

הומומורפיזם יכול להיחשב לשקילות הטופולוגית הבסיסית ביותר. שקילות טופולוגית אחרת היא שקילות הומוטופיה. קשה יותר לתאר את המושג הזה מבלי להיכנס לפרטים הטכניים, אך התנאי ההכרחי הוא ששני עצמים "X" ו-"Y" הם שקולים הומוטופית אם קיים עצם נוסף "Z" כך ש-"Z" מכיל גם את "X" וגם את "Y" והוא ניתן לכיווץ בדרכים שונות ל-X ו-Y. מקרה חלקי ופשוט הוא כאשר אנו לוקחים את Z כאחד מ-X ו-Y, נניח X. במקרה זה, Y מוכל ב-X ו-X ניתן לכיווץ ל-Y.

הגדרה מתמטית

תהי X קבוצה כלשהי ותהי T משפחה של תת קבוצות של X. אז T היא טופולוגיה על X אם:

1. גם הקבוצה הריקה וגם X הם איברים ב-T.

2. האיחוד של מספר שרירותי של איברים ב-T הוא גם איבר ב-T.

3. כל חיתוך של מספר סופי של איברים ב-T הוא גם איבר ב-T.

אם T טופולוגיה על X, אז X ביחד עם T יקרא מרחב טופולוגי.

כל הקבוצות ב-T נקראות קבוצות פתוחות. שים לב שלא כל התת-קבוצות של X חייבות להיות ב-T. תת-קבוצה של X נקראת סגורה אם המשלים שלה ב-T (אחרת, היא קבוצה פתוחה). תת-קבוצה של X עשויה להיות קבוצה פתוחה, סגורה, קבוצה פתוחה וסגורה או אף אחד מהם.

פונקציה או מפה ממרחב טופולוגי אחד לאחר נקראת רציפה אם הדמות ההופכית של כל קבוצה פתוחה היא גם פתוחה. אם הפונקציה ממפה את המספרים הממשים למספרים הממשיים (שניהם מרחב עם טופולוגיה סטנדרטית), אז הגדרה זו של רציפות זהה להגדרה של רציפות שניתנת בחדו"א. אם פונקציה רציפה היא חד חד ערכית ועל והפונקציה ההופכית לפונקציה גם היא רציפה, אז היא נקראת הומאומורפיזם והתחום של הפונקציה הומאומורפי לטווח. דרך אחרת לחשוב על זה היא שלפונקציה יש הרחבה טבעית אל הטופולוגיה. אם שני מרחבים הם הומאומורפיים, אז יש להם תכונות טופולוגיות זהות, והם נחשבים מבחינה טופולוגית זהים. הקובייה והספירה הם הומומורפיים, כמו גם ספל קפה והבייגלה (טורוס). אך המעגל אינו הומומורפי לטורוס.

מונחים ומשפטים בטופולוגיה

כמה משפטים בטופולוגיה כללית

שגיאות פרמטריות בתבנית:להשלים
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

• כל קטע סגור בישר הממשי הוא קומפקטי. יותר הוא נכון: ב-Rⁿ, קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה ובעלת שפה (ראו: משפט היינה בורל).

קשר התלתן, הקשר הלא טריוויאלי הפשוט ביותר בתורת הקשרים

לקריאה נוספת

ד"ר דניאלה ליבוביץ, ‏טופולוגיה קבוצתית, האוניברסיטה הפתוחה, 1997

• ג'יימס מונקרס, Topology, Prentice Hall, מהדורה שנייה, 1999, ISBN 0-13-181629-2