תבנית ביליניארית

תבנית בילינארית היא פונקציה בשני משתנים, הלינארית בכל אחד ממשתניה. כלומר: בכל משתנה, הפונקציה מהווה טרנספורמציה לינארית.

מבוא

טרנספורמציה לינארית היא פונקציה $\ T:V\to W$, כאשר $\ V$ ו $\ W$ הם מרחבים לינאריים מעל אותו שדה $\ F$, המקיימת את שתי האקסיומות הבאות:

1. $\ T(x+y)=T(x)+T(y)$ לכל זוג וקטורים $\ x,y\in V$.
2. $\ T(\alpha x)=\alpha T(x)$ לכל וקטור $\ x\in V$ וסקלר $\ \alpha \in F$.

אנו נרצה להכליל את התכונות הללו לפונקציה של שני משתנים, $\ B(u,v)$ כך שפונקציה תהיה לינארית בכל אחד ממשתניה, כלומר:

• לינאריות ברכיב ראשון:
  1. $\ B(x+y,u)=B(x,u)+B(y,u)$ .
  2. $\ B(\alpha x,u)=\alpha B(x,u)$ .
• לינאריות ברכיב שני:
  1. $\ B(v,x+y)=B(v,x)+B(v,y)$ .
  2. $\ B(v,\alpha x)=\alpha B(v,x)$ .

דרישת שתי התכונות הללו, וכן ש $\ B$ מוגדרת מעל (מכפלה קרטזית של) מרחבים וקטורים ($\ V\times W$ ) מעל אותו שדה $\ F$ ושולחת את האיברים אל מרחב וקטורי שלישי מעל השדה (או בפרט: השדה עצמו), הן הדרישות הכלליות ביותר שאפשר לדרוש מפונקציה של 2 משתנים $\ B$ כך שנוכל להתייחס אליה כהעתקה לינארית ב 2 משתנים או כהעתקה בילינארית.

משתמשים בשם תבנית בילינארית עבור המקרה הפשוט ביותר: $\ B:V\times V\to F$ , כלומר - שני המשתנים (רכיבים) של $\ B$ באים מאותו מרחב והיא שולחת אותם אל איבר בשדה (סקלר) שמעליו מוגדר המרחב $\ V$. תבנית בילינארית היא שימושית ביותר ולא רק בתחומי האלגברה הלינארית.

מרחב התבניות הבילינאריות על מ"ו V ממימד n, הינו מרחב וקטורי בעצמו ממימד $\ n^{2}$.

הגדרה מתמטית

פונקציה $\ B:V\times V\rightarrow F$ כאשר $\ V$ הוא מרחב וקטורי מעל שדה $\ F$ שמקיימת את התנאים:

1. הפונקציה $\ v\rightarrow B(u,v)$ היא לינארית עבור כל $\ u\in V$
2. הפונקציה $\ u\rightarrow B(u,v)$ היא לינארית עבור כל $\ v\in V$

נקראת תבנית בילינארית.

הרחבות

פונקציה $\ B:U\times V\rightarrow W$ כאשר $\ U,W$ ו$\ V$ הם מרחבים וקטורים מעל שדה $\ F$ שמקיימת את התנאים:

1. הפונקציה $\ v\rightarrow B(u,v)$ היא לינארית עבור כל $\ u\in U$
2. הפונקציה $\ u\rightarrow B(u,v)$ היא לינארית עבור כל $\ v\in V$

נקראת אופרטור בילינארי.

• אופרטור בילינארי בו $\ W=F$ נקרא גם מיפוי בילינארי.
• מיפוי בילינארי בו $\ V=U$ נקרא כאמור תבנית בילינארית.

סוגי תבניות בילינאריות

• נאמר שתבנית בילינארית B היא תבנית סימטרית אם לכל $\ u,v\in V$ מתקיים:

  $\ B(u,v)=B(v,u)$

• נאמר שתבנית בילינארית B היא תבנית אנטי-סימטרית אם לכל $\ u,v\in V$ מתקיים:

  $\ B(u,v)=-B(v,u)$

דוגמאות כלליות

• יהי $\,V$ מרחב מכפלה פנימית מעל המספרים הממשיים.

התבנית $\ B(u,v)=(u,v)$ הינה תבנית בילינארית.

מתכונות מרחבי מכפלה פנימית נוכל להסיק כי זוהי תבנית סימטרית.

• יהי $\,V$ מרחב וקטורי מממד 2. ותהי $\ \triangle$ פונקציית נפח ב-$\,V$.

התבנית $\ B(u,v)=\triangle (u,v)$ הינה תבנית בילינארית.

מתכונות פונקציית הנפח נוכל להסיק כי זוהי תבנית אנטי-סימטרית.

• יהי $\,V$ מרחב וקטורי של וקטורי עמודה ותהי $\,M$ מטריצה ריבועית.

התבנית $\ B(u,v)=u^{T}Mv$ בכפל מטריצות היא תבנית בילינארית הנקראת הפולינום הבילינארי המתאים למטריצה M.

הסימטריות של התבנית תלויה בסימטריות של המטריצה.

כמו כן, אם $\,V$ הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb {F}$, כאשר $\mathbb {F}$ הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים, ואם $\,M$ היא מטריצה חיובית לחלוטין, אז התבנית $\ B(u,v)$ מהווה מכפלה פנימית ב-$\,V$.

• שני פונקציונלים לינארים $\ \phi ,\varphi \$ על מרחב וקטורי $\,V$ מגדירים מכפלה טנזורית $\ f(u,v)=u\otimes v=\phi (u)\varphi (v)\$ על V, מכיוון שהפונקציונלים לינארים, מכפלה זו היא תבנית בילינארית.