החבורה הסימטרית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־22:38, 3 בספטמבר 2009

ערך זה עוסק בחבורת התמורות של מספר עצמים. אם התכוונתם לחבורת סימטריות של מבנה מורכב, ראו חבורת סימטריות.

במתמטיקה, החבורה הסימטרית של קבוצה $\ X$ היא החבורה המכילה את כל הפונקציות החד-חד ערכיות ועל מ- $\ X$ ל- $\ X$ , עם פעולת הכפל המוגדרת על ידי הרכבת פונקציות. מקובל לסמן חבורה זו, שהיא הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורת סימטריות, בסימון $\ S_{x}$ או $\ Sym(x)$ .

כאשר הקבוצה $\ X$ סופית, ניתן להניח שאבריה הם $\ X=\{1,...,n\}$ , ואז מסמנים את חבורת הסימטריות שלה ב- $\ S_{n}$ , שבה יש $\ n!$ איברים הנקראים תמורות.

הגדרות וסימונים

מחזור (Cycle) מסדר r

הוא תמורה בה r איברים מחליפים ביניהם מקומות באופן מעגלי (נקרא גם אופן ציקלי). את המחזור מסמנים על ידי כתיבת אברי המחזור בתוך סוגריים עגולים, כאשר התמונה של כל אבר היא האיבר שרשום אחריו. לדוגמה, $\ f=(1\ 4\ 7\ 9)\in S_{9}$ הוא מחזור מסדר 4, שבו $\ f(1)=4,f(4)=7,f(7)=9,f(9)=1$ ולכל שאר המספרים מתקיים $\ f(x)=x$ (באופן לא פורמלי אומרים שאת שאר האברים הוא "משאיר במקום"). שני מחזורים נקראים זרים אם קבוצות האברים שאותם הם לא משאירים במקום הן זרות. לדוגמא, המחזור $(1\ 2\ 9)$ זר למחזור $(4\ 10\ 5)$ . משפט בסיסי מראה כי ניתן להציג באופן יחיד כל תמורה כהרכבה של מחזורים זרים (עד כדי סדר), ולכן במובן מסוים מחזורים הם אבני הבנייה של חבורת התמורות.

חילוף (או בלעז טרנספוזיציה) הוא מקרה פרטי של מחזור מסדר 2. כלומר, חילוף מחליף בין שני אברים בקבוצה ואת שאר אברי הקבוצה הוא משאיר במקומם.

רישום תמורות באמצעות מטריצה

דרך נוספת לרשום תמורות באמצעות מטריצה דו-שורתית עם n עמודות. השורה הראשונה מייצג את המצב ההתחלתי של הרצף (בדרך כלל כל איבר נמצא במקומו הטבעי [1 במקום הראשון, 2 בשני, וכו']) ואילו השורה השנייה מצייגת את המצב של האיברים אחרי הפעלת התמורה עליהם. למשל:

f=(1\ 2\ 3)={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}}

הוא הייצוג במטריצה של מחזור מסדר-3 על הקבוצה {1,2,3}, שבו $\ f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1$ .

שיטת כתיבה זו מסורבלת למדי ולרוב משתמשים בייצוג בעזרת מחזורים זרים.

דוגמה להרכבת (כפל) תמורות

יהיו $f=(1\ 3)(2)(4\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{bmatrix}}$

ו- $g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}$

משמעות הסימון $f\cdot g$ היא התמורה המתקבלת מהפעלת g ואחריה את f. $fg=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{bmatrix}}$ . (כי g מעביר את 1 ל- 2 ולאחר מכן f משאיר את 2 במקום, וכן הלאה). יש לשים לב שבאופן כללי כפל תמורות אינו חילופי, כלומר $f\cdot g\neq g\cdot f$ .

סימן של תמורה

כאמור, חילוף היא תמורה שמחליפה שני איברים זה בזה ואת השאר היא משאירה במקום. ניתן להוכיח שכל תמורה יכולה להיכתב כמכפלה של חילופים. לדוגמא, קל לבדוק שכל מחזור מקיים את השיווין $(a\ b\ c\ \dots y\ z)=(bc)\dots (yz)(za)$ .

תמורה שניתן להציגה כמכפלה של מספר זוגי של חילופים נקראת תמורה זוגית, ואילו תמורה שהיא מכפלה אי-זוגית של חילופים נקראת תמורה אי-זוגית. למרות שההצגה של תמורה בתור מכפלת חילופים אינה יחידה, הזוגיות של מספר החילופים בכל שתי הצגות תמיד תהייה זהה, ולכן מושג הזוגיות של תמורה מוגדר היטב. בדוגמה של כפל התמורות, $\ g$ היא מכפלה של שלוש חילופים ולכן היא אי-זוגית בעוד $\ f$ היא תמורה זוגית.

היות ומספר החילופים במכפלה של שתי תמורות הוא פשוט סכום מספרי החילופים בכל אחת מהתמורות, הזוגיות של מכפלת תמורות פועלת לפי אותם החוקים של חיבור מספרים שלמים. כלומר, מכפלה של תמורה זוגית עם תמורה אי-זוגית היא אי-זוגית, וכל צירוף אחר הוא זוגי.

אם מגדירים את פונקציית הסימן על ידי $\ sign(f)=+1$ אם f תמורה זוגית ו- $\ sign(f)=-1$ אם f היא אי-זוגית, אז ההעתקה $\ sign:S_{n}\rightarrow \{+1,-1\}\equiv \mathbb {Z} _{2}:$ היא הומומורפיזם של חבורות. גרעין ההעתקה, כלומר קבוצת התמורות הזוגיות, נקרא חבורת התמורות הזוגיות ומקובל לסמן אותו באות $\ A_{n}$ . זוהי תת חבורה נורמלית של $\ S_{n}$ ויש בה בדיוק $\ n!/2$ איברים.

תכונות של החבורות הסימטריות

לכל החבורות הסימטריות (מסדר $\ n>2$ ) יש מרכז טריוויאלי. למעט החבורה $\ S_{6}$ , שיש לה אוטומורפיזם חיצוני, כל האוטומורפיזמים של החבורות $\ S_{n}$ הם פנימיים (כלומר, מושרים על ידי הצמדה), ולכן החבורות $\ S_{n}$ (כאשר $\ n\neq 2,6$ ) הן שלמות (complete).

ראו גם

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 כאשר הקבוצה <math>\ X</math> סופית, ניתן להניח שאבריה הם <math>\ X=\{1,...,n\}</math>, ואז מסמנים את חבורת הסימטריות שלה ב-<math>\ S_n</math>, שבה יש <math>\ n!</math> איברים הנקראים [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]].
-== הגדרות ==
+== הגדרות וסימונים==
-'''חילוף''' הוא תמורה המחליפה בין מקומותיהם של שני איברים. לדוגמה: החילוף (ab) שם את b במקום של a ואת a במקום של b. מחזור זוהי תמורה אי-זוגית (ראו הרחבה בהמשך).
+===מחזור (Cycle) מסדר r===
-'''מחזור (Cycle) מסדר r:''' הוא תמורה בה r איברים מחליפים ביניהם מקומות בסדר מעגלי. דוגמה: נסתכל במחזור מסדר-3 הבא (abc) במחזור זה האיבר a עובר למקום של b, האיבר b עובר למקום של c ואילו c עובר למקום של a. נשים לב שחילוף הוא מחזור מסדר 2. הזוגיות של מחזור היא הסדר שלו פחות 1. ניתן לכתוב כל תמורה כמכפלה של מחזורים זרים.
+הוא תמורה בה r איברים מחליפים ביניהם מקומות באופן מעגלי (נקרא גם אופן '''ציקלי'''). את המחזור מסמנים על ידי כתיבת אברי המחזור בתוך סוגריים עגולים, כאשר ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של כל אבר היא האיבר שרשום אחריו. לדוגמה, <math>\ f=(1\ 4\ 7\ 9)\in S_9</math> הוא מחזור מסדר 4, שבו  <math>\ f(1)=4, f(4)=7, f(7) = 9, f(9)=1</math>  ולכל שאר המספרים מתקיים <math>\ f(x)=x</math>  (באופן לא פורמלי אומרים שאת שאר האברים הוא "משאיר במקום").
+שני מחזורים נקראים '''זרים''' אם קבוצות האברים שאותם הם '''לא''' משאירים במקום הן [[קבוצות זרות|זרות]]. לדוגמא, המחזור <math>(1 \ 2\ 9)</math> זר למחזור <math>(4\ 10\ 5)</math>. משפט בסיסי מראה כי ניתן להציג באופן יחיד כל תמורה כהרכבה של מחזורים זרים (עד כדי סדר), ולכן במובן מסוים מחזורים הם אבני הבנייה של חבורת התמורות.
+'''חילוף''' (או בלעז '''טרנספוזיציה''') הוא מקרה פרטי של מחזור מסדר 2. כלומר, חילוף מחליף בין שני אברים בקבוצה ואת שאר אברי הקבוצה הוא משאיר במקומם.
-'''רישום תמורות באמצעות [[מטריצה]]:''' <br />
-דרך נוספת לרשום תמורות באמצעות מטריצה דו-שורתית עם n עמודות. השורה הראשונה מייצג את המצב ההתחלתי של הרצף (בדרך כלל כל איבר נמצא במקומו הטבעי [1 ב-1, 2 ב-2 וכו]) ואילו השורה השנייה מצייגת את המצב של האיברים אחרי הפעלת התמורה עליהם. למשל:
+===רישום תמורות באמצעות [[מטריצה]]===
+דרך נוספת לרשום תמורות באמצעות מטריצה דו-שורתית עם n עמודות. השורה הראשונה מייצג את המצב ההתחלתי של הרצף (בדרך כלל כל איבר נמצא במקומו הטבעי [1 במקום הראשון, 2 בשני, וכו']) ואילו השורה השנייה מצייגת את המצב של האיברים אחרי הפעלת התמורה עליהם. למשל:
 : <math> f = (1 \ 2 \ 3)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3  \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} </math>
 הוא הייצוג במטריצה של מחזור מסדר-3 על הקבוצה {1,2,3}, שבו <math>\ f(1)=2, f(2)=3, f(3) = 1 </math>.
@@ שורה 17: / שורה 20: @@
 שיטת כתיבה זו מסורבלת למדי ולרוב משתמשים בייצוג בעזרת מחזורים זרים.
-==דוגמה==
+===דוגמה להרכבת (כפל) תמורות===
 יהיו <math> f = (1\ 3)(2)(4\ 5)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{bmatrix} </math>
@@ שורה 23: / שורה 26: @@
 ו-  <math> g = (1\ 2\ 5)(3\ 4)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{bmatrix} </math>
-מפעילים את  <math>\ g</math> ואז את  <math>\ f</math>,  <math>\ 1</math> עובר ל- <math>\ 2</math> ו- <math>\ 2</math> לעצמו, <math>\ 2</math> ל- <math>\ 5</math> ל- <math>\ 4</math> וכן הלאה מקבלים: <math> fg = (1\ 2\ 4)(3\ 5)=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3\end{bmatrix} </math>.
+משמעות הסימון <math>f\cdot g</math> היא התמורה המתקבלת מהפעלת g ואחריה את  f. <math> fg = (1\ 2\ 4)(3\ 5)=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3\end{bmatrix} </math>. (כי g מעביר את 1 ל- 2 ולאחר מכן f משאיר את 2 במקום, וכן הלאה). יש לשים לב שבאופן כללי כפל תמורות אינו [[חילופיות|חילופי]], כלומר <math>f\cdot g\ne g\cdot f</math>.
-==חילופים וסימנים==
-'''חילוף''' היא תמורה שמחליפה שני איברים זה בזה ואת השאר היא משאירה במקום.
-לדוגמה ב-<math>\ (1\ 3)(2)(4)(5)</math> התמורה <math>\ S_x</math> שניתן לכתוב <math>\ (1\ 3)</math> היא היפוך. ניתן להוכיח שכל תמורה יכולה להיכתב כמכפלה של חילופים, <math>\ g</math> מהדוגמה הקודמת תיכתב <math>\ (1\ 2)(2\ 5)(3\ 4)</math>.
+==סימן של תמורה==
-תמורה שהיא מכפלה של [[מספר זוגי]] של חילופים נקראת תמורה זוגית, ואילו תמורה שהיא מכפלה אי-זוגית של חילופים נקראת תמורה אי-זוגית.
+כאמור, '''חילוף''' היא תמורה שמחליפה שני איברים זה בזה ואת השאר היא משאירה במקום. ניתן להוכיח שכל תמורה יכולה להיכתב כמכפלה של חילופים. לדוגמא, קל לבדוק שכל מחזור מקיים את השיווין <math>(a\ b\ c\ \dots y\ z)=(bc)\dots(yz)(za)</math>.
-בדוגמה שלנו <math>\ g</math> היא מכפלה של שלוש חילופים ולכן היא אי-זוגית בעוד <math>\ f</math> היא תמורה זוגית. למרות שההצגה של תמורה בתור מכפלת חילופים אינה יחידה, תמיד ההצגה היא זוגית או אי-זוגית ולכן זה מוגדר היטב.
+תמורה שניתן להציגה כמכפלה של [[מספר זוגי]] של חילופים נקראת תמורה זוגית, ואילו תמורה שהיא מכפלה אי-זוגית של חילופים נקראת תמורה אי-זוגית. למרות שההצגה של תמורה בתור מכפלת חילופים אינה יחידה, הזוגיות של מספר החילופים בכל שתי הצגות תמיד תהייה זהה, ולכן מושג הזוגיות של תמורה מוגדר היטב. בדוגמה של כפל התמורות, <math>\ g</math> היא מכפלה של שלוש חילופים ולכן היא אי-זוגית בעוד <math>\ f</math> היא תמורה זוגית.
-המכפלה של שתי תמורות זוגיות היא זוגית, שתי אי-זוגיות היא גם זוגית, והמכפלה של תמורה זוגית עם תמורה אי-זוגית היא אי-זוגית.
+היות ומספר החילופים במכפלה של שתי תמורות הוא פשוט ''סכום'' מספרי החילופים בכל אחת מהתמורות, הזוגיות של מכפלת תמורות פועלת לפי אותם החוקים של חיבור מספרים שלמים. כלומר, מכפלה של תמורה זוגית עם תמורה אי-זוגית היא אי-זוגית, וכל צירוף אחר הוא זוגי.
-לכן ניתן להגדיר את ה'''סימן''' של תמורה <math>\ f</math> כ-<math>\ sign(f)=+1</math> אם התמורה זוגית ו-<math>\ sign(f)=-1</math> אם היא אי-זוגית.
-ההעתקה: <math>\ sign:S_n\rightarrow\{+1-1\}:</math> המוגדרת היא [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]] של חבורות (<math>\ \{+1-1\}</math> היא חבורה ביחס לפעולת הכפל). גרעין ההעתקה, כלומר קבוצת התמורות הזוגיות, נקרא [[חבורת התמורות הזוגיות]] ומקובל לסמן אותו באות <math>\ A_n</math>. זוהי [[תת חבורה נורמלית]] של <math>\ S_n</math> ויש בה בדיוק <math>\ n!/2</math> איברים.
+אם מגדירים את פונקציית הסימן על ידי <math>\ sign(f)=+1</math> אם f תמורה זוגית ו-<math>\ sign(f)=-1</math> אם f היא אי-זוגית, אז ההעתקה<math>\ sign:S_n\rightarrow\{+1,-1\}\equiv\mathbb{Z}_2:</math>  היא [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]] של חבורות. גרעין ההעתקה, כלומר קבוצת התמורות הזוגיות, נקרא [[חבורת התמורות הזוגיות]] ומקובל לסמן אותו באות <math>\ A_n</math>. זוהי [[תת חבורה נורמלית]] של <math>\ S_n</math> ויש בה בדיוק <math>\ n!/2</math> איברים.
 == תכונות של החבורות הסימטריות ==