קירוב ליניארי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־23:02, 1 בנובמבר 2009

קירוב לינארי או קירוב מסדר ראשון הוא מושג במתמטיקה המתאר קירוב של פונקציה מתמטית כלשהי באמצעות פונקציה לינארית (ליתר דיוק, פונקציה אפינית). לקירובים לינארים יש שימוש נרחב במדעים ובמתמטיקה כדי לקבל קירוב לערך הפונקציה בסביבה של ערך קבוע מראש. היות שפונקציות לינאריות הן קלות לחישוב ולפיתרון, קירובים לינארים מועדפים כמעט תמיד בניתוחים אנליטים ונומריים אם הם מספקים את הדיוק הנדרש.

כאשר לפונקציה קיים קירוב לינארי, נאמר שהפונקציה דיפרנציאבילית.

הגדרה

בהינתן פונקציה $\ f$ על מרחב הממשיים שהיא רציפה וגזירה ושנגזרתה רציפה גם היא בסביבה של $\ a$ , מתקבל מטור טיילור עבור $\ n=1$ כי:

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}\$

כאשר $\ R_{2}$ הוא איבר השארית המייצג את סכום האיברים מסדר גבוה יותר. קירוב לינארי, או קירוב מסדר ראשון, מתקבל על ידי השמטת השארית, כך שמתקבלת הנוסחה:

$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$

ככל ש- $\ x$ יהא קרוב יותר ל- $\ a$ כך שגיאת הקירוב תהא קטנה יותר שכן האיברים של החזקות הגבוהות יותר של $\ x-a$ ישאפו מהר יותר לאפס ויהיו זניחים ביחס לאיבר הלינארי ב- $\ x-a$ והאיבר הקבוע.

למעשה הנוסחה שלעיל היא בדיוק משוואת המשיק לגרף של הפונקציה $\ f$ בנקודה $\ (a,f(a))$ .

ניתן לבצע קירוב לינארי לפונקציות וקטוריות דיפרנציאביליות באופן דומה. לדוגמה, בהינתן פונקציה דיפרנציאבילית $\ f(x,y)$ על המספרים הממשיים, הקירוב הלינארי של $\ f(x,y)$ עבור $\ (x,y)$ קרובים ל- $\ (a,b)$ נתון על ידי הנוסחה:

f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).

דוגמה

ניתן לחשב קירוב לערך ${\sqrt[{3}]{25}}$ על ידי קירוב לינארי של הפונקציה $f(x)=x^{1/3}\,$ , כלומר לחשב את הקירוב על ידי חישוב הערך $\ f(25)$ .

ראשית עלינו למצוא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה:
$f'(x)={\frac {x^{-2/3}}{3}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}$
ואז לפי משוואת הקירוב הלינארי:
$f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.$
התוצאה המתקבלת, 2.926, קרובה למדי לערך האמיתי של המספר: 2.924. שגיאת הקירוב המוחלטת היא 0.002, ושגיאת הקירוב היחסית היא 0.0684%.

יישומים

שיטת ניוטון-רפסון

ראו גם

@@ שורה 19: / שורה 19: @@
 למעשה הנוסחה שלעיל היא בדיוק משוואת ה[[משיק]] לגרף של הפונקציה <math>\ f</math> בנקודה <math>\ (a, f(a))</math>.
-ניתן לבצע קירוב לינארי לפונקציות [[מרחב וקטורי|וקטוריות]] [[דיפרנציאביליות]] באופן דומה, כאשר נקודת ההשקה תהא ב[[יעקוביאן]] של הפונקציה. לדוגמה, בהינתן פונקציה [[דיפרנציאביליות|דיפרנציאבילית]] <math>\ f(x, y)</math> על המספרים הממשיים, הקירוב הלינארי של <math>\ f(x, y)</math> עבור <math>\ (x, y)</math> קרובים ל-<math>\ (a, b)</math> נתון על ידי הנוסחה:
+ניתן לבצע קירוב לינארי לפונקציות [[מרחב וקטורי|וקטוריות]] [[דיפרנציאביליות]] באופן דומה<!-- , כאשר נקודת ההשקה תהא ב[[יעקוביאן]] של הפונקציה -->. לדוגמה, בהינתן פונקציה [[דיפרנציאביליות|דיפרנציאבילית]] <math>\ f(x, y)</math> על המספרים הממשיים, הקירוב הלינארי של <math>\ f(x, y)</math> עבור <math>\ (x, y)</math> קרובים ל-<math>\ (a, b)</math> נתון על ידי הנוסחה:
 :<math>f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).</math>