משפט וילסון

משפט וילסון הוא משפט בתורת המספרים, הקובע שאם p מספר ראשוני, אז p מחלק את $\ (p-1)!+1$ (ראו עצרת למשמעות הסימון "!").

היסטוריה

הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ההודי Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על ידי המדען הערבי איבן אל-היית'ם שחי בתקופת ימי הביניים, בערך בשנת 1000 לספירה. המשפט קרוי על שמו של ג'ון וילסון, מתמטיקאי אנגלי וסטודנט של אדוארד וארינג, שהזכיר את המשפט במאה ה-18. וארינג הכריז על המשפט בשנת 1770 למרות שגם הוא וגם וילסון לא יכלו להוכיח אותו. לגראנז' היה הראשון להוכיח את המשפט בשנת 1773. ישנן ראיות שלייבניץ היה מודע לכך כתשעים שנה קודם לכן, אך לעולם לא פרסם זאת.

הוכחה

נניח ש- p ראשוני. לכל $\ 1\leq a<p$ קיים b יחיד באותו טווח, המקיים $\ ab\equiv 1{\pmod {p}}$ (זהו ההפכי של a בחבורת אוילר $\ U_{p}$). אם a הפוך לעצמו אז $\ p|(a-1)(a+1)$, ולכן המספרים היחידים ההפוכים לעצמם הם 1 ו- p-1. מכאן שבמכפלה $\ (p-1)!=1\cdot 2\cdot \dots (p-1)$, כל המספרים פרט ל- 1 ו- p-1 מסודרים בזוגות שמכפלתם 1, ולכן המכפלה כולה שקולה מודולו p ל- 1-.

כדי להוכיח את הכיוון ההפוך נניח בשלילה ש- p מספר פריק. אזי ל-P יש מחלק d כך שמתקיים 1<d<p-1 . ברור ש-d מחלק את (p-1)! , אבל לפי ההנחה d מחלק את (p-1)!+1 ולכן p=1. זו סתירה, לכן P ראשוני.

אותה הוכחה מתאימה לתוצאה כללית יותר: מכפלת כל האיברים בחבורה אבלית סופית שווה למכפלת האיברים מסדר 2 בחבורה.

יישומים

אם p ראשוני אי-זוגי, אז $\ (p-1)!=(1\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}})\cdot ({\frac {p+1}{2}}\cdot \cdots \cdot (p-1))=\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}(-1)^{\frac {p-1}{2}}$, ולפי משפט וילסון $\ \left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}=(-1)^{\frac {p+1}{2}}$. לכן, אם $\ p\equiv 1{\pmod {4}}$, הערך $\ \left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ מהווה שורש ריבועי של 1-. (מאידך, אם $\ p\equiv -1{\pmod {4}}$ אז 1- אינו שארית ריבועית).

ראו גם

• הלמה של גאוס