משפט וילסון – הבדלי גרסאות
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
'''משפט וילסון''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[תורת המספרים|תורת המספרים]], הקובע שאם p [[מספר ראשוני]], אז p מחלק את <math>\ (p-1)!+1</math> (ראו [[עצרת]] למשמעות הסימון "!"). |
'''משפט וילסון''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[תורת המספרים|תורת המספרים]], הקובע שאם p [[מספר ראשוני]], אז p מחלק את <math>\ (p-1)!+1</math> (ראו [[עצרת]] למשמעות הסימון "!"). המשפט נקרא על-שם [[ג'ון וילסון]], למרות ש[[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']] היה הראשון [[הוכחה|להוכיח]] את המשפט, בשנת 1773. |
||
הכיוון ההפוך למשפט נכון גם הוא, משום שאם p אינו ראשוני אז הוא מחלק את <math>\ (p-1)!</math>. |
|||
== היסטוריה == |
== היסטוריה == |
||
הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ה[[הודי]] Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על ידי המדען ה[[ערבי]] [[איבן אל-היית'ם]] שחי בתקופת [[ימי הביניים]], בערך בשנת 1000 לספירה. המשפט קרוי על שמו של |
הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ה[[הודי]] Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על ידי המדען ה[[ערבי]] [[איבן אל-היית'ם]] שחי בתקופת [[ימי הביניים]], בערך בשנת 1000 לספירה. המשפט קרוי על שמו של וילסון, מתמטיקאי אנגלי וסטודנט של [[אדוארד וארינג]], שהזכיר את המשפט במאה ה-18. וארינג הכריז על המשפט בשנת 1770 למרות שגם הוא וגם וילסון לא יכלו להוכיח אותו, ולגראנז', ב-1773, היה הראשון שסיפק לו הוכחה. ישנן ראיות ש[[גוטפריד וילהלם לייבניץ|לייבניץ]] היה מודע לכך כתשעים שנה קודם לכן, אך מעולם לא פרסם זאת. |
||
== הוכחה == |
== הוכחה == |
גרסה מ־13:49, 26 באוגוסט 2010
משפט וילסון הוא משפט בתורת המספרים, הקובע שאם p מספר ראשוני, אז p מחלק את (ראו עצרת למשמעות הסימון "!"). המשפט נקרא על-שם ג'ון וילסון, למרות שלגראנז' היה הראשון להוכיח את המשפט, בשנת 1773.
הכיוון ההפוך למשפט נכון גם הוא, משום שאם p אינו ראשוני אז הוא מחלק את .
היסטוריה
הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ההודי Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על ידי המדען הערבי איבן אל-היית'ם שחי בתקופת ימי הביניים, בערך בשנת 1000 לספירה. המשפט קרוי על שמו של וילסון, מתמטיקאי אנגלי וסטודנט של אדוארד וארינג, שהזכיר את המשפט במאה ה-18. וארינג הכריז על המשפט בשנת 1770 למרות שגם הוא וגם וילסון לא יכלו להוכיח אותו, ולגראנז', ב-1773, היה הראשון שסיפק לו הוכחה. ישנן ראיות שלייבניץ היה מודע לכך כתשעים שנה קודם לכן, אך מעולם לא פרסם זאת.
הוכחה
נניח ש- p ראשוני. לכל קיים b יחיד באותו טווח, המקיים (זהו ההפכי של a בחבורת אוילר ). אם a הפוך לעצמו אז , ולכן המספרים היחידים ההפוכים לעצמם הם 1 ו- p-1. מכאן שבמכפלה , כל המספרים פרט ל- 1 ו- p-1 מסודרים בזוגות שמכפלתם 1, ולכן המכפלה כולה שקולה מודולו p ל- 1-.
אותה הוכחה מתאימה לתוצאה כללית יותר: מכפלת כל האיברים בחבורה אבלית סופית שווה למכפלת האיברים מסדר 2 בחבורה.
יישומים
אם p ראשוני אי-זוגי, אז , ולפי משפט וילסון . לכן, אם , הערך מהווה שורש ריבועי של 1-. (מאידך, אם אז 1- אינו שארית ריבועית).