חלקיק חופשי – הבדלי גרסאות
מ בוט החלפות: דוגמה; בעיה; |
←במכניקה קלאסית: הפרדת המכניקה הנליטית מן המכניקה הקלאסית |
||
שורה 4: | שורה 4: | ||
== במכניקה קלאסית == |
== במכניקה קלאסית == |
||
עבור חלקיק הנע במימד אחד, הצבת <math>F=0</math> ב{{ה|חוק השני של ניוטון}}, נותנת: |
|||
⚫ | |||
: |
:<math>\ m \ddot{x} = 0</math>. |
||
משוואת התנועה המתקבלת מ[[משוואות אוילר-לגראנז']] או ישירות מ[[חוקי ניוטון]] היא <math>\ m \ddot{x} = 0</math>. |
|||
פתרון המשוואה על ידי [[אינטגרציה]] נותן את משוואת התנועה של חלקיק חופשי במימד אחד: |
|||
פתרון במשוואה הוא: |
|||
: <math>\ x(t) = x_0 + v_0 t</math> |
: <math>\ x(t) = x_0 + v_0 t</math> |
||
כאשר <math>\ x_0 , v_0</math> הם קבועים שנקבעים לפי [[תנאי התחלה|תנאי ההתחלה]]. |
כאשר <math>\ x_0 , v_0</math> הם קבועים שנקבעים לפי [[תנאי התחלה|תנאי ההתחלה]]. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
==ב[[מכניקה אנליטית]]== |
|||
⚫ | |||
: <math>\ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2</math> |
|||
עבור חלקיק רב-ממדי, <math>\vec{x}</math> יהיה וקטור d-[[ממד (פיזיקה)|ממד]]י, ואז: |
|||
: <math>\ L = \frac{1}{2} m \left( \frac{ d \vec{x}}{dt} \right)^2</math> |
: <math>\ L = \frac{1}{2} m \left( \frac{ d \vec{x}}{dt} \right)^2</math> |
||
והפתרון |
|||
⚫ | |||
מביטויים אלו ניתן לקבל את משוואת התנועה של חלקיק חופשי באמצעות [[משוואות אוילר-לגראנז']]. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math>\ H = \frac{p^2}{2 m}</math> |
: <math>\ H = \frac{p^2}{2 m}</math> |
||
כאשר p הוא ה[[תנע]] של החלקיק. |
כאשר p הוא ה[[תנע]] של החלקיק. |
גרסה מ־15:08, 3 בספטמבר 2010
בפיזיקה חלקיק חופשי הוא חלקיק הנע באופן חופשי ללא השפעת שום כוח (לא נע תחת שום השפעה של פוטנציאל חיצוני).
בעיית החלקיק החופשי היא אחת הבעיות הפיזיקליות הפשוטות ביותר וניתנת לפתרון באופן מדויק במסגרות תאורטיות שונות (מכניקה קלאסית, מכניקה קוונטית ועוד). הבעיה משמשת כדוגמה ראשונית בלימוד התאוריות הנ"ל ובסיס לפתרון בעיות מסובכות יותר.
במכניקה קלאסית
עבור חלקיק הנע במימד אחד, הצבת בחוק השני של ניוטון, נותנת:
- .
פתרון המשוואה על ידי אינטגרציה נותן את משוואת התנועה של חלקיק חופשי במימד אחד:
כאשר הם קבועים שנקבעים לפי תנאי ההתחלה.
ניתן להכליל בקלות את הבעיה עבור חלקיק חופשי רב-ממדי. במקרה זה משוואת התנועה תהיה:
מן הפתרונות ניתן לראות שחלקיק חופשי מבצע תנועה במהירות קבועה בקו ישר.
במכניקה אנליטית
הלגרנז'יאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:
עבור חלקיק רב-ממדי, יהיה וקטור d-ממדי, ואז:
מביטויים אלו ניתן לקבל את משוואת התנועה של חלקיק חופשי באמצעות משוואות אוילר-לגראנז'.
ההמילטוניאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:
כאשר p הוא התנע של החלקיק.
במכניקת הקוונטים
במכניקת הקוונטים החלקיק החופשי מתואר על ידי פונקציית גל שפותרת את משוואת שרדינגר
כאשר
הוא ההמילטוניאן של חלקיק חופשי.
הפונקציות העצמיות הן גלים מישוריים
ומתאימים למצב בו לחלקיק יש תנע מוגדר. האנרגיות שלהם הן
הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים:
אינטגרל מסלול של חלקיק חופשי הוא:
בתורת שדות
שגיאות פרמטריות בתבנית:להשלים
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים