פונקציה מעריכית – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
JAnDbot (שיחה | תרומות)
מ בוט Manually assisted solving of mixed interwiki; משנה: ro, uk
Vitalig (שיחה | תרומות)
מ תיקון בינוויקי
שורה 51: שורה 51:
[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות|מעריכית]]
[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות|מעריכית]]


[[en:Exponential function]]
[[en:Exponentiation]]
[[ar:دالة أسية]]
[[af:Magsverheffing]]
[[br:Argemmvac'henn]]
[[ar:أس]]
[[ca:Potència aritmètica]]
[[bs:Eksponencijalna funkcija]]
[[cs:Umocňování]]
[[ca:Funció exponencial]]
[[da:Potens (matematik)]]
[[cs:Exponenciální funkce]]
[[de:Potenz (Mathematik)]]
[[da:Eksponentialfunktion]]
[[et:Astendamine]]
[[de:Exponentialfunktion]]
[[el:Εκθετική συνάρτηση]]
[[eo:Eksponenta funkcio]]
[[es:Función exponencial]]
[[es:Potenciación]]
[[fa:تابع نمایی]]
[[eo:Potenco (matematiko)]]
[[eu:Berreketa]]
[[fi:Eksponenttifunktio]]
[[fa:توان (ریاضی)]]
[[fr:Exponentielle]]
[[fr:Exposant (mathématiques)]]
[[hu:Exponenciális függvény]]
[[gan:冪]]
[[id:Fungsi eksponensial]]
[[io:Exponentala]]
[[xal:Идрлһн]]
[[ko:거듭제곱]]
[[it:Funzione esponenziale]]
[[ja:指数関数]]
[[hr:Potenciranje]]
[[io:Potenco]]
[[ka:მაჩვენებლიანი ფუნქცია]]
[[ko:지수 함수]]
[[id:Eksponen]]
[[is:Veldi (stærðfræði)]]
[[lt:Eksponentinė funkcija]]
[[it:Potenza (matematica)]]
[[nl:Exponentiële functie]]
[[la:Potentia (mathematica)]]
[[no:Eksponentialfunksjon]]
[[lv:Kāpināšana]]
[[pl:Funkcja wykładnicza]]
[[pms:Fonsion esponensial]]
[[lt:Kėlimas laipsniu]]
[[hu:Hatvány]]
[[pt:Função exponencial]]
[[ms:Pengeksponenan]]
[[ro:Funcție exponențială]]
[[nl:Machtsverheffen]]
[[ru:Показательная функция]]
[[ja:冪乗]]
[[simple:Exponential function]]
[[no:Potens (matematikk)]]
[[sk:Exponenciálna funkcia]]
[[pl:Potęgowanie]]
[[sl:Eksponentna funkcija]]
[[pt:Exponenciação]]
[[sr:Експоненцијална функција]]
[[ro:Putere (matematică)]]
[[sv:Exponentialfunktion]]
[[tr:Üstel fonksiyon]]
[[qu:Yupa huqariy]]
[[ru:Возведение в степень]]
[[uk:Показникова функція]]
[[simple:Exponentiation]]
[[ur:اسی دالہ]]
[[zh:指数函数]]
[[sk:Umocňovanie]]
[[sl:Potenciranje]]
[[ckb:توان (بیرکاری)]]
[[sr:Степеновање]]
[[sh:Stepenovanje]]
[[fi:Potenssi]]
[[sv:Potens (matematik)]]
[[tl:Eksponente]]
[[th:การยกกำลัง]]
[[tr:Üslü sayı]]
[[uk:Піднесення до степеня]]
[[vi:Lũy thừa]]
[[yi:מדריגה (מאטעמאטיק)]]
[[zh:冪]]

גרסה מ־16:40, 29 באוקטובר 2010

פונקציה מעריכית היא פונקציה מתמטית מהצורה . המספר נקרא בסיס הפונקציה. כאשר מגדירים את הפונקציה כפונקציה ממשית, מגבילים לרוב את בסיס החזקה ודורשים .

דוגמה:

  • אם אז
  • אם אז
גרפים של פונקציות אקספוננציאליות אחדות

המספר e הוא בסיס מיוחד לפונקציה המעריכית. ייחוד זה בא לידי ביטוי, למשל, בכך שנגזרת פונקציה מעריכית ש-e הוא בסיסה זהה לפונקציה עצמה. פונקציה מעריכית שבסיסה הוא e נקראת אקספוננט.

הפונקציה ההופכית לפונקציה המעריכית היא פונקציית הלוגריתם.

כפונקציה ממשית, פונקציה מעריכית היא פונקציה עולה אם בסיסה גדול מ-1. אם הוא 1 היא הפונקציה הקבועה 1, ואם הוא קטן מ-1 וגדול מ-0 היא יורדת. בפונקציות מעריכיות ממשיות, מגבילים את בסיס הפונקציה המעריכית למספרים חיוביים בלבד, מכיוון שבבסיס שלילי, הפונקציה לא תהיה מוגדרת עבור מספרים מסוימים (0.5 וכדומה).

פונקציה מעריכית ממשית גדלה מהר יותר מכל פולינום (אם היא פונקציה מעריכית ו- פולינום, מסמנים ), אבל מהר פחות מעצרת ().

הגדרת הפונקציה המעריכית

במסגרת החשבון האינפיניטסימלי, הדרך הקלה והמהירה ביותר להגדיר את הפונקציה המעריכית, היא באמצעות האקספוננט ( ) והלוגריתם הטבעי, כאשר את הפונקציה , ואת הקבוע e מגדירים באמצעות טור חזקות: . מבחני ההתכנסות הסטנדרטיים מראים שהטור מתכנס לכל ערך ממשי x, ולכן ניתן להגדיר באופן טבעי .

את הפונקציה הכללית מגדירים:

ניתן להגדיר באופן כללי את הפונקציה המעריכית באמצעות פיתוח חוקי החזקות של חתכי דדקינד מתוך פעולת החזקה של המספרים הרציונליים, בלי תלות בפונקציית האקספוננט.

תכונות הפונקציה המעריכית

כל תכונות הפונקציה המעריכית נובעות מתכונות האקספוננט. כך, הפונקציה המעריכית היא פונקציה רציפה וגזירה. הפונקציה המעריכית הפיכה כאשר בסיסה שונה מאחד, כלומר (כלומר כאשר ). הפונקציות המעריכיות מעבירות חיבור לכפל, וכפל לחזקה כלומר מתקיימות התכונות:

למעשה, קל לראות שאם פונקציה כלשהי מעבירה כפל לחזקה (מקיימת את התכונה השנייה), אז היא בהכרח פונקציה מעריכית. לעומת זאת פונקציה שמעבירה חיבור לכפל (מקיימת את התכונה הראשונה) איננה בהכרח פונקציה מעריכית, אם היא לא רציפה.

דוגמאות

  • גידול אוכלוסייה. אם לכל אדם נולדים שני ילדים (4 ילדים לזוג), אז גידול האוכלוסייה הוא אקספוננציאלי בבסיס 2.
  • פריקת וטעינת קבל דרך נגד מבוטאת על ידי הקשר .
  • דעיכה רדיואקטיבית. בחומר רדיואקטיבי, כמות האיזוטופ הרדיואקטיבי היא

כש- היא הכמות המקורית, היא הכמות שנשארת אחרי זמן , הוא חצי אורך החיים של החומר, הוא אורח החיים הממוצע של החומר ו-λ הוא קבוע הדעיכה. שלושת הפרמטרים , ,ו-λ קשורים על ידי המשוואות

כש-(ln(2 הוא הלוגריתם של 2 (בערך 0.693)

ראו גם