פונקציית גמא – הבדלי גרסאות
מ בוט משנה: it:Funzione Gamma |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות (-השניה +השנייה) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
</div> |
</div> |
||
וזאת לכל <math>\ z \in \mathbb{C}</math> המקיים <math>\,Re(z) > 0</math>. פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות ה[[גבול של סדרה|גבול]] |
וזאת לכל <math>\ z \in \mathbb{C}</math> המקיים <math>\,Re(z) > 0</math>. פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות ה[[גבול של סדרה|גבול]] |
||
<math>\ \Gamma(z) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1\cdot 2 \cdots n}{z\cdot (z+1)\cdots (z+n-1)}(n+1)^{z-1} </math>, המוגדר היטב לכל <math>\ z \neq 0,-1,-2,\dots</math>. משום כך, הפונקציה |
<math>\ \Gamma(z) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1\cdot 2 \cdots n}{z\cdot (z+1)\cdots (z+n-1)}(n+1)^{z-1} </math>, המוגדר היטב לכל <math>\ z \neq 0,-1,-2,\dots</math>. משום כך, הפונקציה השנייה מהווה [[המשכה אנליטית]] של האינטגרל ל[[פונקציה מרומורפית]]. |
||
== תכונות == |
== תכונות == |
גרסה מ־20:30, 2 בינואר 2011
פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת מֶרוֹמורפית, המרחיבה את מושג ה"עצרת" לכל המישור המרוכב: לכל מספר טבעי , הפונקציה מקבלת את הערך .
הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של לז'נדר. גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, , לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף בצרפת, ובעקבות זאת גם בשאר העולם.
הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל .
לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות בלבד, ואין לה שורשים. הפונקצייה מקיימת את המשוואה הפונקציונלית , המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.
הגדרה
פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:
וזאת לכל המקיים . פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות הגבול , המוגדר היטב לכל . משום כך, הפונקציה השנייה מהווה המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית.
תכונות
הקשר לפונקציית עצרת
ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה (בהזזת 1) לפונקציית העצרת.
אם הוא חיובי ושלם, אזי , כי על ידי ביצוע אינטגרציה בחלקים, אפשר להראות כי , ומאחר ש- נקבל כי לכל מספר טבעי .
זהויות אחרות
זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף: .
מכאן נובע כי , ולכן .
זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס:
לפונקציית גמא יש קוטב ב לכל טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:
המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:
כאשר הוא "קבוע אוילר".
משפט בוהר-מולרופ
משפט בוהר-מולרופ (Bohr–Mollerup theorem) הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא. המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהאן מולרופ שהוכיחו אותו.
- משפט: פונקציית גמא הממשית המוגדרת לכל על ידי היא הפונקציה היחידה בקרן המקיימת:
אחת ההוכחות לנוסחת סטירלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקציית גמא באתר Wolfram mathworld
- מחשבון לפונקציית גמא