משפט האינטגרל של קושי – הבדלי גרסאות
מ משפט אינטגרל קושי הועבר למשפט האינטגרל של קושי: תרגמת |
עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''משפט |
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''משפט האינטגרל של קושי''' הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב [[אינטגרל קווי]] של [[פונקציה|פונקציות]] [[פונקציה מרוכבת|מרוכבות]] [[פונקציה הולומורפית|הולומורפיות]]. בבסיסו, המשפט אומר שלאורך מסלול סגור ו[[הומולוגי לאפס]] (כגון השפה של [[תחום פשוט קשר]]), האינטגרל של כל פונקציה שהיא הולומורפית בתחום שהמסלול סוגר ורציפה על השפה, שווה לאפס. הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה הולומורפית. |
||
למשפט זה תוצאות חשובות רבות, כגון [[נוסחת האינטגרל של קושי]], [[משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)|משפט ליוביל]], [[המשפט היסודי של האלגברה]], [[משפט השאריות|משפט השארית]] ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן [[פונקציה אנליטית|אנליטיות]] - כלומר, ניתן לפתח אותן ל[[טור טיילור]]. |
|||
==ניסוח פורמלי== |
==ניסוח פורמלי== |
||
יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> [[תחום קושי]] כך |
יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> [[תחום קושי]] כך שהשפה <math>\ \partial U</math> היא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות, ותהי <math>\ f(z):\bar{U}\rarr\mathbb{C}</math> פונקציה רציפה על <math>\ \partial U</math> והולומורפית ב-<math>\ U</math>. אז האינטגרל המסילתי <math>\oint_{\partial U} f(z)\,dz = 0 </math>, כאשר האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה. |
||
המשפט נובע מן הגרסה החלשה הבאה שלו: תהי <math>\ f</math> הולומורפית ב- <math>\ D</math> ו- <math>\ \Delta</math> משולש המוכל עם פנימו ב- <math>\ D</math>. אז <math>\ \oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz = 0</math>. |
|||
== הוכחה == |
== הוכחה == |
||
שורה 13: | שורה 13: | ||
[[תמונה:triangle-cauchy.jpg|שמאל|ממוזער|250px]] |
[[תמונה:triangle-cauchy.jpg|שמאל|ממוזער|250px]] |
||
תחילה, נניח <math>\ \left| \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz \right| = S > 0</math> |
תחילה, נניח <math>\ \left| \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz \right| = S > 0</math>. לכן, <math>\ \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^4 \oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz </math>, ו-<math>\ \left|\oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz\right| \le \sum_{k=1}^4 \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz \right| </math>. לכן <math>\ S \le\sum_{k=1}^4\left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| </math>, |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
ולכן, <math>\ \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^4 \oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz </math> |
|||
<math>\ \bigcap_{n=0}^{\infty} \Delta_n = \left\{z_0\right\}</math>. הנחנו ש-<math>\ f</math> הולומורפית ב- <math>\ z_0</math>, ולכן <math>\ f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)</math>, ו-<math>\ \lim_{z\rightarrow z_0}\varepsilon(z)= 0</math>. נביט באורכי המסילות: <math>\ l(\Delta_0)=l\ ,\ l(\Delta_1)=\frac{l}{2}\ ,\ ... \ l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n} </math>, כלומר, עבור <math>\ z \in \partial \Delta_n</math>, |
|||
⚫ | |||
⚫ | עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: <math>\ \ (zf(z_0))'=f(z_0)\ ,\ \left(\frac{f'(z_0)(z-z_0)^2}{2}\right)'=f'(z_0)(z-z_0)\ </math>. ניתן לראות שיש להם פונקציה קדומה, שהיא אנליטית בכל <math>\ \mathbb{C}</math>, בפרט ב- <math>\ D</math>, ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי [[משפט אינטגרל קושי]]. לכן גם <math>\ (*)=\left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|</math>. |
||
<math>\ \left|\oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz\right| \le \sum_{k=1}^4 \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz \right| </math> |
|||
לפי הגדרת האינטגרל, אם <math>\ \gamma</math> מסילה חלקה למקוטעין ו-<math>\ f</math> רציפה על <math>\ \gamma</math>, אז <math>\ \left|\oint_{\gamma}f(z)\, dz\right|\le M\cdot l(\gamma )</math>, כאשר <math>\ M=max\left|f(z)\right|</math> על <math>\ \gamma</math> ו- <math>\ l(\gamma)</math> הוא האורך של <math>\ \gamma</math>. לכן: <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|\le max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l}{2^n}\cdot l(\Delta_n)=max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>. מכאן נובע: <math>\ \frac{S}{4^n}\le max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>, ו-<math>\ S\le\ max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2</math>. אבל <math>\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2\right)=0</math> וזו סתירה להנחה, כלומר <math>\ S=0</math> ולכן <math>\ \oint_Tf(z)\, dz = 0</math>. |
|||
לכן <math>\ S \le\sum_{k=1}^4\left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| </math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
לפי למת קנטור, <math>\ \bigcap_{n=0}^{\infty} \Delta_n = \left\{z_0\right\}</math>. |
|||
<math>\ f</math> הולומורפית ב- <math>\ z_0</math> ולכן: |
|||
<math>\ f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)</math> |
|||
<math>\ \lim_{z\rightarrow z_0}\varepsilon(z)= 0</math> |
|||
נביט באורכי המסילות: |
|||
<math>\ l(\Delta_0)=l\ ,\ l(\Delta_1)=\frac{l}{2}\ ,\ ... \ l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n} </math> |
|||
עבור <math>\ z \in \partial \Delta_n</math> , <math>\ \left| z-z_0\right|<l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n}</math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
<math>\ (*)=\left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|</math> |
|||
עכשיו ניתן להוכיח כי אם <math>\ \gamma</math> מסילה חלקה למקוטעין ו-<math>\ f</math> רציפה על <math>\ \gamma</math> אז <math>\ \left|\oint_{\gamma}f(z)\, dz\right|\le M\cdot l(\gamma )</math> כאשר <math>\ M=max\left|f(z)\right|</math> על <math>\ \gamma</math> ו- <math>\ l(\gamma)</math> הוא האורך של <math>\ \gamma</math>. לכן: |
|||
<math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|\le max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l}{2^n}\cdot l(\Delta_n)=max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math> |
|||
מכאן נובע: <math>\ \frac{S}{4^n}\le max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math> |
|||
<math>\ S\le\ max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2</math> |
|||
אבל <math>\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2\right)=0</math> וזו סתירה להנחה, כלומר <math>\ S=0</math> ולכן <math>\ \oint_Tf(z)\, dz = 0</math>. |
|||
{{אנליזה מרוכבת}} |
{{אנליזה מרוכבת}} |
גרסה מ־02:19, 10 בינואר 2011
באנליזה מרוכבת, משפט האינטגרל של קושי הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציות מרוכבות הולומורפיות. בבסיסו, המשפט אומר שלאורך מסלול סגור והומולוגי לאפס (כגון השפה של תחום פשוט קשר), האינטגרל של כל פונקציה שהיא הולומורפית בתחום שהמסלול סוגר ורציפה על השפה, שווה לאפס. הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה הולומורפית.
למשפט זה תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי, משפט ליוביל, המשפט היסודי של האלגברה, משפט השארית ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות - כלומר, ניתן לפתח אותן לטור טיילור.
ניסוח פורמלי
יהא תחום קושי כך שהשפה היא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות, ותהי פונקציה רציפה על והולומורפית ב-. אז האינטגרל המסילתי , כאשר האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.
המשפט נובע מן הגרסה החלשה הבאה שלו: תהי הולומורפית ב- ו- משולש המוכל עם פנימו ב- . אז .
הוכחה
תחילה, נניח . לכן, , ו-. לכן , ויש כך ש- .
נסמן . נמשיך כך ונקבל סדרת משולשים , כאשר . לפי הלמה של קנטור, . הנחנו ש- הולומורפית ב- , ולכן , ו-. נביט באורכי המסילות: , כלומר, עבור , . מכאן ש-.
עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: . ניתן לראות שיש להם פונקציה קדומה, שהיא אנליטית בכל , בפרט ב- , ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי משפט אינטגרל קושי. לכן גם .
לפי הגדרת האינטגרל, אם מסילה חלקה למקוטעין ו- רציפה על , אז , כאשר על ו- הוא האורך של . לכן: . מכאן נובע: , ו-. אבל וזו סתירה להנחה, כלומר ולכן .