חילוק באפס

חלוקה באפס היא הפעולה המתמטית של חלוקת מספר במספר 0, ותוצאתה לרוב אינה מוגדרת. את הפעולה ניתן לרשום בצורה $\textstyle {\frac {a}{0}}$.

ברוב תחומי המתמטיקה חילוק מוגדר ככפל במספר הופכי (ההפוכי למספר a הוא מספר b כך שמכפלתם ab היא 1). מכיוון שלאפס לא מוגדר הופכי, בהגדרה לא ניתן לחלק באפס. באופן כללי בחוג עם חילוק לאיבר האפס אין איבר הופכי ביחס לכפל, ולכן חילוק באיבר זה אינו מוגדר והוא חסר משמעות.

ניתן להוכיח את אי-ההפיכות של איבר האפס ישירות מהגדרתו כאיבר היחידה החיבורי: בזכות הדיסטריבוטיביות של כפל מעל חיבור לכל $\ a$ מתקיים $a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$ ולכן לפי כלל הצמצום החיבורי $\ a\cdot 0=0$. מכאן שלא קיים איבר כך שמכפלתו באיבר האפס תתן את איבר היחידה הכפלי (איבר האפס תמיד שונה מאיבר היחידה הכפלי), ולכן אפס אינו הפיך.