אלגברת מלצב

במתמטיקה, אלגברת מלצב היא אלגברה לא אסוציאטיבית, המתקבלת מאלגברה אלטרנטיבית באותו אופן שבו אפשר לקבל אלגברת לי מכל אלגברה אסוציאטיבית. לפיכך, כל אלגברת לי היא אלגברת מלצב, ואפשר להכליל מרכיבים משמעותיים בתורת המבנה של הסוג הראשון, אל המבנה הכללי יותר. מאידך, כמעט כל אלגברת מלצב פשוטה היא אלגברת לי. האלגברות נקראות על-שם אנטולי מלצב, שהגדיר והחל לחקור אותן ב-1955.

הגדרה

ככל אלגברה לא אסוציאטיבית, אלגברת מלצב היא מרחב וקטורי M מעל שדה, עם תבנית ביליניארית $\ [\cdot ,\cdot ]:M\times M\rightarrow M$. התבנית נדרשת לקיים את האקסיומות הבאות:

1. $\!\,[x,x]=0$ לכל $\!\,x\in M$;
2. $\ J(x,y,[x,z])=[J(x,y,z),x]$, כאשר $\ J(x,y,z)=[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]$ הוא ה"יעקוביאן".

אלגברות לי מוגדרות על ידי החלפת האקסיומה השנייה בזהות יעקובי $\ J(x,y,z)=0$, שהיא בבירור חזקה יותר. את האקסיומה השנייה אפשר לכתוב כ- $\ [[x,y],[x,z]]=[[[x,y],z],x]+[[[y,z],x],x]+[[[z,x],x],y]$. בפרט, כל איבר מהצורה $\ [[x,y],[x,z]]$ שייך ל- $\,[[[M,M],M],M]$.

תכונות ומבנה

אם $\ (A,\cdot )$ אלגברה אלטרנטיבית, הפעולה $\ [x,y]=x\cdot y-y\cdot x$ מגדירה עליה מבנה של אלגברת מלצב.

אלגברה לא אסוציאטיבית שכל תת-אלגברה שלה הנוצרת על ידי שני איברים היא אלגברת לי, נקראת אלגברת לי בינארית. במאפיין שונה מ-2, אפשר לתאר תכונה זו באמצעות אקסיומות: $\ [x,x]=0$ ו- $\ J([x,y],x,y)=0$. כל אלגברת לי היא אלגברת מלצב, וכל אלגברת מלצב היא אלגברת לי בינארית (כפי שאלגברה אלטרנטיבית עם שני יוצרים היא אסוציאטיבית).

במאפיין שונה מ-2, אלגבראות מלצב פשוטות מתחלקות לשני סוגים: אלגבראות לי פשוטות, או (כאשר המאפיין שונה מ-3) החלק הטהור באלגברת קיילי פשוטה ביחס לפעולת הקומוטטור. האלגברה האחרונה היא אלגברה 7-ממדית מעל השדה; שתי אלגבראות כאלה איזומורפיות אם ורק אם אלגבראות הקיילי המתאימות הן איזומורפיות.

במאפיין 0, המבנה של אלגבראות מלצב נחקר לעומק - מוגדרת עליהם תבנית עקבה (trace form), כלומר סימטרית ואסוציאטיבית, על ידי $K(x,y)=\operatorname {tr} (R_{x}R_{y})$, כאשר $R_{x}$ הוא אופרטור ההכפלה מימין ב-x. האלגברה פשוטה למחצה אם ורק אם התבנית רגולרית (בדומה לקריטריון המתאים באלגבראות לי בעזרת תבנית קילינג). במקרה זה, האלגברה מתפרקת לסכום ישר של אלגבראות 7-ממדיות לעיל. הרדיקל הפתיר של אלגברת מלצב מתלכד עם החלק המאונך של $A^{2}$ ביחס לתבנית K, ועל כן A פתירה אם ורק אם $K(A,A^{2})=0$.

בנוסף, ניתן להגדיר תורת מודולים מעל אלגבראות מלצב, וללמוד בעזרתה הצגות של האלגבראות. בתחום זה תוצאות דומות לתורת ההצגות של אלגבראות לי, במיוחד במחקר אלגבראות ניליות.