השערת הודג'

השערת הודג' (קרויה על שם וויליאם הודג') היא השערה מרכזית בגאומטריה אלגברית ואחת מ-7 בעיות המילניום של מכון קליי. ההשערה עוסקת בקשר בין הגאומטריה של אוסף הפתרונות למערכת משוואות פולינומיאלית מסויימת לבין מערכות משוואות שמכילות את מערכת המשוואות הנתונה.

הקוהומולוגיה של יריעה פרוייקטיבית חלקה

יריעה אלגברית פרוייקטיבית היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף כלשהוא של פולינומים הומוגנים. אומרים שהיריעה חלקה אם היא יריעה חלקה במובן של גאומטריה דיפרנציאלית.

תהא $X$ יריעה פרוייקטיבית חלקה. כל תת יריעה פרוייקטיבית $Y$ (לאו דווקא חלקה) מגדירה מחלקת קוהומולוגיה $\eta _{Y,X}\in H^{2k}(X;\mathbb {Z} )$, כאשר $k$ הוא הקו-ממד של $Y$ ב-$X$.

הודג' הוכיח שחבורות הקוהומולוגיה של $X$ עם מקדמים מרוכבים מתפרקות לסכום ישר מהצורה

$H^{k}(X;\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X),$

כאשר תת המרחב $H^{p,q}(X)$ מכיל את מחלקות הקוהומולוגיה שמיוצגות על ידי תבניות הרמוניות מטיפוס $(p,q)$. אפשר להראות שלכל תת יריעה $Y$ מקו-ממד $k$, מחלקת הקוהומולוגיה $\eta _{Y,X}$ שייכת לתת המרחב $H^{k,k}(X)$. השערת הודג' היא שמחלקות הקו הומולוגיה של תתי יריעות לא נמצאות בתת מרחב קטן יותר.

ניסוח ההשערה

השערת הודג': אם $X$ יריעה פרוייקטיבית חלקה, אז, לכל $k$, תת המרחב $H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X)$ נפרש על ידי מחלקות הקוהומולוגיה של תתי היריעות של $X$.

מקרים שבהם ההשערה ידועה

1. המקרה $k=1$ נובע ממשפט של סולומון לפשץ. המקרה $k=dim(X)-1$ נובע מזה וממשפט לפשץ החזק. בפרט, ההשערה נכונה עבור יריעות מממד קטן מ-4.

2. חוג הקוהומולוגיה של יריעה אבלית גנרית נוצר על ידי חבורת הקוהומולוגיה השניה (שעבורה ההשערה נכונה) ומכאן נובע שההשערה נכונה עבור יריעות אבליות גנריות.

קישורים חיצוניים

• השערת הודג', באתר של מכון קליי למתמטיקה, כולל קישורים: לניסוח הרשמי והרצאה להסבר (באנגלית)
• השערת הודג', באתר MathWorld (באנגלית)
• השערת הודג', באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)