חבורה מפותלת

חבורה מפותלת (מאנגלית: Torsion Group) היא חבורה בה לכל איבר יש סדר סופי. כל חבורה סופית היא מפותלת, אך קיימות גם חבורות אינסופיות מפותלות.

בעיית ברנסייד עוסקות בחבורות מפותלות נוצרות סופית. בעיות נוספות בנושא זה הן אודות מציאת חסמים לסדרים ולאקספוננט של חבורות מוכרות.

הגדרה

חבורה $G$ נקראת מפותלת אם אין לה איברים מסדר אינסופי. כלומר, לכל $g\in G$ קיים $n\in \mathbb {N}$ כך ש-$g^{n}=1_{G}$.

עבור חבורה מפותלת, מגדירים את האקספוננט בתור הכפולה המשותפת המינימלית של סדרי האיברים בחבורה. האקספוננט יכול להיות אינסוף; במקרה והוא סופי, זהו המספר הנמוך ביותר $d$ המקיים $g^{d}=1_{G}$ לכל $g\in G$.

לכל חבורה אבלית $G$, מגדירים את תת-החבורה המפותלת שלה, בתור תת-החבורה המכילה את כל האיברים מסדר סופי. חבורה היא חסרת פיתול אם תת-החבורה המפותלת שלה טריוויאלית.

דוגמאות

• כל חבורה סופית היא מפותלת; האקספוננט שלה מחלק את סדר החבורה.
• חבורת המנה $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$.
• כל חבורת פרופר היא חבורת פיתול אינסופית.
• החבורה הדיהדרלית האינסופית.
• חבורת בראואר של כל שדה (ואפילו חוג קומוטטיבי) היא חבורת פיתול.

ראו גם

• אקספוננט של חבורה
• חבורה חסרת פיתול