ערך זה עוסק בפעולה מתמטית. אם התכוונתם לחיבור עיוני קצר, ראו מסה (חיבור עיוני).
הדגמה של הפעולה 2+3
באריתמטיקה, חיבור היא פעולה בינארית יסודית שמקבלת שני מספרים ומחזירה את סכומם. פעולת החיבור מסומנת בסימן + (פלוס). לשני המספרים שמחברים קוראים "מחוברים" ולתוצאה קוראים "סכום". התמונה משמאל מדגימה את הביטוי 2+3=5: אם נצרף 3 צורות מלמעלה ו-2 צורות מלמטה, נקבל ביחד 5 צורות. לפעולה קוראים "פלוס" או "ועוד" לכן את הביטוי ניתן לקרוא כ"שתים ועוד שלוש" או "שתים פלוס שלוש". הדוגמה מדגימה את המשמעות היסודית של חיבור, היא חיבור מספרים טבעיים, אולם ניתן להגדיר גם חיבור מספרים שליליים, אי-רציונליים ואף מרוכבים, וכמו כן חיבור פונקציות, וקטורים, מטריצות, עוצמות ועוד. פעולת החיבור מוגדרת גם עבור מבנים אלגבריים מופשטים כגון חבורות, חוגים ושדות
חיבור מספרים טבעיים ניתן להגדיר בצורה נאיבית בעזרת לוח החיבור:
לוח החיבור
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
+
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
2
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
3
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
4
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
5
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
6
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
7
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
8
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
9
הלוח משמש לחיבור מספרים חד ספרתיים, כדי לחבר מספרי גדולים יותר יש לכתוב אותם זה מעל זה ולחבר את הטורים מימין לשמאל, וכאשר מתקבל מספר הגדול מ-9 יש להוסיף את ספרת העשרות שלו לטור הבא.
כדי להגדיר בצורה פורמלית מגדירים תוך שימוש באקסיומת העוקב של אקסיומות פאנו (לכל מספר טבעי קיים מספר עוקב ולא קיים מספר שהעוקב שלו 0), שאותן מקיימים המספרים הטבעיים. אם הוא הסימון לעוקב של , אז החיבור מוגדר ברקורסיה כך:
.
.
לדוגמה,
מכאן ניתן להוכיח מספר תכונות מעניינות באינדוקציה (ראו להלן).
כאשר יש לנו תרגיל עם סוגריים, כאשר מופיע הסימן + לפני הסוגריים, ניתן "לפתוח" את הסוגריים, או במילים אחרות להוריד או להעלים אותם. משום שפעולת החיבור לפני סוגריים לא תשנה את מה שיש בתוך הסוגריים ולא יהיה הבדל אם התרגיל יהיה גם ללא סוגריים, מה שמבדיל בין שאר הפעולות המתמטיות שכאשר הן נמצאות לפני סוגריים לא ניתן להעלים את הסוגריים ללא ביצוע פעולה מסוימת התלויה בסימן עצמו.
מספרים טבעיים: נוכיח את שתי התכונות הראשונות על מספרים טבעיים באינדוקציה. התכונה השלישית נובעת מהגדרת החיבור והחילופיות.
חילופיות: באינדוקציה על b. כצעד ראשון נוכיח באינדוקציה על a ש-. עבור נקבל , ואם נניח נכונות עבור a, נקבל . על פי הנחת האינדוקציה, הביטוי בסוגריים שווה ל-a, לכן כמו שרצינו להוכיח. לכן והוכחנו את בסיס האינדוקציה. כעת נניח עבור b ש ונקבל . כעת נוכיח באינדוקציה על a שהביטוי הנ"ל שווה ל-. עבור נקבל . נניח עבור a ונקבל . הרכבת ההוכחות הנ"ל תתן לנו ש-, ומעבר האינדוקציה הושלם.
קיבוציות: באינדוקציה על c. עבור נקבל . נניח עבור c ונקבל .
מספרים שלמים:
חילופיות:
קיבוציות:
נייטרליות של אפס:
קיום איבר נגדי: כאן מצטרפת תכונה חדשה, והיא קיום איבר נגדי - לכל x קיים y כך ש-. נראה זאת: , לכן הוא הנגדי של , ונסמן .
מספרים רציונליים:
חילופיות:
קיבוציות:
נייטרליות של אפס:
קיום איבר נגדי:
מספרים ממשיים:
חילופיות:
קיבוציות:
נייטרליות של אפס:
קיום איבר נגדי:
מספרים מרוכבים:
חילופיות:
קיבוציות:
נייטרליות של אפס:
קיום איבר נגדי:
(הערה: בחלק ממערכות המספרים השתמשנו לא רק בתכונות החיבור של המערכת הקודמת, אלא גם בכמה מתכונות הכפל, עליהן ניתן לקרוא כאן)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3e7ed2867994c88cab704ab991184c0407be68)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10be7c056a7c8afcbed39e725c6079a3834670cc)
![{\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693aec9a45560682f4b1ffa1f995779393788ef1)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]=[(c+a,d+b)]=[(c,d)]+[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2495f40440e51a4a6034e65058ac8ebd05e79e03)
![{\displaystyle {\begin{aligned}[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])&=[(a,b)]+[(c+e,d+f)]=[(a+(c+e),b+(d+f))]=[((a+c)+e,(b+d)+f)]\\&=([(a+c,b+d)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c+d)])+[(e,f)]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f29a4963b1f94491bdb956e769e68f4368ea2b)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(0,0)]=[(a+0,b+0)]=[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa66039154e381c121990eb5554a7c4f46624ee)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,b+a)]=[(0,0)]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe848b6dc65fc9a41aa90fd2abfa1e100a0533a2)
![{\displaystyle [(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4673f87e9f04b411addd9c344dceb4c2915dd1)
![{\displaystyle [(b,a)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f183a28f11d30b90bfbcd12d7564ced92c012b)
![{\displaystyle [(b,a)]=-[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30f7cfdf4313def6586db5d46b0529e841935b3)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]=[(cb+da,db)]=[(c,d)]+[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9e47cb8489fba9baaa67bf0effc18e71cc2ffb)
![{\displaystyle [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cf+de,df)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1232092eb4fbe82c0a6dec219010dcf2411afeb2)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(0,1)]=[(a+0\cdot b,b)]=[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4543856830b4ef7614aabff8b2f0171d853ff3c9)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab-ab,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da0b489058af2a82a8a56fdb9e3850b7042c3d5)
![{\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}+x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da5810a4841e359fb53ffb0215d3e637389858c)
![{\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+([\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }])=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=([\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }])+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af844238e38cc31da1c201d7c82f0c0fa21c273)
![{\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{0\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+0\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b52b67ef9b10cec8eb5d8e1cfd2b1d8ab4e1bc)
![{\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{-x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{0\}_{n=1}^{\infty }]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af4c3aae806326975a223defe3f8cd2df7869c8)
