מישור משופע

מישור משופע הוא מכונה פשוטה, ללא חלקים נעים, הכוללת משטח משופע, שקצה אחד שלו נמוך מקצהו השני. גרירת חפץ על־פני משטח משופע דורשת השקעה פחותה של כוח בהשוואה לגרירתו בהרמה אנכית. יעילות המישור המשופע תלויה באורכו ובגובהו, וניתן לבטא אותה כ-1 חלקי סינוס זווית המשטח. לפי חוק שימור האנרגיה, הרמת חפץ לגובה מסוים באמצעות מישור משופע או בלעדיו תובעת השקעת כמות זהה של אנרגיה, אך במישור משופע אורך המסלול ארוך יותר, ולכן כמות האנרגיה הנדרשת בכל שלב של ההרמה קטנה יותר. את קצב הרמת החפץ ניתן להאיץ גם באמצעות הפחתת החיכוך לאורך המישור, ובאמצעות הגדלת הזווית שבין המישור לרצפה. חסרונו העיקרי של מישור משופע הוא בהפסד האנרגיה בגלל חיכוך, ולכן מישור משופע ארוך מאוד אינו יעיל מבחינה אנרגטית.

סוללה, כבש, מגלשה

סוללת העפר הרומית בצידה המערבי של מצדה

מכשירים רבים משתמשים בעקרון הפעולה של המישור המשופע על מנת לבצע משימות שונות; כך למשל, סוללה מאפשרת להעפיל לגובה שקשה לעלות אליו בצורה אנכית. דוגמאות לכך הן סוללות העפר בעולם העתיק, שאפשרו לחיילים ולאיל ניגוח להגיע לראש החומה. אחת מהן היא סוללת העפר ששימשה את הצבא הרומי לכיבוש מצדה, שקיימת ונמצאת בשימוש עד היום. סוללות עפר שימשו במצרים העתיקה על מנת להרים באמצעותן את האבנים הכבדות ששימשו לבניית הפרמידות. באמצעות מישור משופע נייד ניתן גם לעלות ולרדת מאוניות, או להרים ולהוריד חפצים לתא מטען של משאית. רכבות הרים משתמשות אף הן במישור המשופע על מנת להאיץ למהירויות גבוהות. בענפי ספורט שונים כגון סקי ומזחלות, נעזרים במישור משופע מצופה קרח או שלג – בצורה טבעית (כגון הר מושלג) או מלאכותית – על מנת להגיע למהירויות גבוהות. שיפועים אלה הם כמעט ללא חיכוך – אך מהירות הגוף מואטת על ידי החיכוך עם האוויר. משפך הוא מישור משופע בצורת חרוט המאפשר לתעל חומרים למרכזו.

מישור משופע מאפשר גם נגישות לאנשים בעלי מוגבלות, או לעגלות ילדים. מבנים ציבוריים בישראל מחויבים לכלול אמצעים שיאפשרו גישה לנכים.

כלי נוסף הוא המגלשה, שמסייעת להוריד חפצים ואנשים ממקום גבוה למקום נמוך בהתבסס על כוח החיכוך כגורם מאט. מגלשות החירום המותקנות מתחת לדלתות מטוסי נוסעים, מאפשרות, בשעת חירום, לרדת במהירות מהמטוס ללא הסכנה שבקפיצה. מגלשות נפוצות גם בגני שעשועים שונים מאחר שניתן לתכנן אותן כך שיושגו בהן מהירויות שונות ואף ניתן להגיע לחוויה הקרובה לנפילה חופשית. על ידי הקטנת הזווית של המגלשה לקראת סופה, וממילא הגדלת שטח המישור המשופע, ניתן להאט את מהירותו של הגולש בה – על ידי החיכוך – כך שלא יתנגש בקרקע בעוצמה. השינוי בזווית מאפשר גם להימנע מהתנגשות ישירה בקרקע. בפארקי מים, כוח החיכוך של המגלשות מופחת באמצעות התזת מים עליהן – כך שיש סיכה בין האדם והמגלשה. מגלשות אלו מסוגלות להגיע למהירויות גבוהות, ויש פחות צורך להאט את האדם הגולש לקראת סופה של המגלשה, מכיוון שהוא גולש לתוך בריכה המרככת את החבטה.

חישוב הכוחות הפועלים על גוף במישור משופע והסבר מילולי של הכוחות הפועלים

N הכוח הנורמלי, mg כוח הכבידה, f כוח החיכוך, θ הזווית של המישור המשופע

חישוב הכוחות הפועלים על גוף הנמצא במישור משופע מורכב משלשה גורמים, כאשר את החיכוך עם האוויר ניתן להזניח בדרך כלל, למעט במהירויות גבוהות:

1.כוח הנורמלי (N) הפועל אנכית מהמישור על הגוף. מכיוון שמישור משופע נטול חיכוך יכול להחזיר רק את הרכיב המאונך של הכוח הפועל עליו.

2.כוח הכבידה (mg) הפועל כלפי מטה. מאונך לכדור הארץ ולא למישור.

3.כוח החיכוך (f) הפועל במקביל למשטח.

ווקטור הכוח שפועל במורד המישור הוא הרכיב של כוח הכובד בכיוון ציר ה-Y ונוצר באופן הבא:

• על הגוף פועל רק כוח חיצוני אחד - כח הכובד. כל שאר הכוחות הם פנימיים במערכת.

• הרכיב של כוח הכובד בכיוון הניצב למישור מתבטל עם הכוח הנורמלי שמוחזר על ידי המישור (סכום הכוחות בציר ה-Y שהוא אפס ולכן אין תאוצה בכיוון צירה-Y. הרכיב האנכי של כוח המשיכה (mgcosθ) שווה לכוח הנורמל N).

• הרכיב הווקטורי של כוח הכובד בכיוון מאוזן למישור לא יכול להתבטל (שוב, מכיוון שמישור משופע נטול חיכוך מסוגל להחזיר כוח רק בכיוון מאונך) ולכן סכום הכוחות בציר ה-X אינו שווה אפס, ונוצרת תאוצה בכיוון ציר ה-X.

במקרה שקיים חיכוך - אם הרכיב האופקי של כוח המשיכה (mgsinθ בציר הX) גדול מכוח החיכוך הסטטי (fs) – תהיה תאוצה במורד המדרון השווה ל: gsinθ – fk/m (במקרה זה, החיכוך יהיה קינטי). אם כוח החיכוך הסטטי גדול מהרכיב האופקי של כוח המשיכה, לא תהיה תנועה.

אם זווית השיפוע שווה 0, אז sinθ גם יהיה 0, והגוף לא יזוז. (הכוח הנורמלי מחזיר את כל הרכיב של כוח הכובד ושקול הכוחות הוא 0).

ככל הנראה, גלילאו גליליי ביצע את ניסוייו בתחום הכבידה במערכת של מישור משופע, ולא בזריקת חפצים מהמגדל הנטוי בפיזה (בניגוד לאגדה האורבנית).

דרך נוספת להסתכל על המערכת

דרך נוספת לבחון את המערכת היא לבחון את הכוחות שפועלים על הגוף.

על הגוף פועלים שני כוחות: כוח הכובד (כלפי מטה) והכוח הנורמלי (במאונך למישור). ניתן לראות שהסכום הווקטורי של שני כוחות אלו הוא בכיוון המישור וגודלו mgsinθ.

גלגול ללא החלקה במישור משופע

כאשר מתגלגלת מסה(מעגלית) במישור משופע, על מרכז המסה פועלים אותם הכוחות כמו בתנועה ללא גלגול. מה ששונה, זה שחלק מהאנרגיה הופכת לאנרגיית סיבוב של המסה, כלומר קיים תנע זוויתי (המסה היא גוף קשיח). כאשר ניגשים לפתור את הבעיה, חשוב להבין את עקרון הגלגול, אשר אומר כי "בכל רגע נתון, קיימת נקודה סטציונרית על שפת המעגל, אשר נוגעת במישור המשופע". ניתן לפתור בעיה זו בכמה דרכים, כגון שימור אנרגיה(התחשבות בצבירת אנרגיה פנימית בגלגל תנופה), משוואת כוחות על מרכז המסה, וגלגול מסביב לנקודת המגע(אשר נמצאת במרחק קבוע ביחס למרכז המסה).

_{פתרון הבעיה(ללא פיתוח):}

$\left\vert {\vec {a}}\right\vert ={\frac {g\sin(\theta )}{1+{\frac {I_{c}}{mR^{2}}}}}$, כאשר $I_{c}$ מסמל את מומנט ההתמד של הגוף מסביב למרכז המסה, ו $\theta$ הוא זווית השיפוע של המישור.

התנאי לכך שלא תהיה החלקה: $\tan(\theta )<{\frac {\mu _{s}R^{2}}{I_{c}}}(m+{\frac {I_{c}}{R^{2}}})$, כאשר $\mu _{s}$ מסמל את מקדם החיכוך הסטטי של המישור.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מישור משופע בוויקישיתוף

• מישור משופע, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)