אוריינטציה (אלגברה ליניארית)

ניתן לראות בתמונה את האוריינטציה השמאלית (בצד שמאל) ואת הימנית (בצד ימין).

באלגברה ליניארית אוריינטציה היא מבנה על מרחב ליניארי ממשי שמשעותו האינטואיטיבית קשורה לכיוון. להלן מספר דוגמאות:

• על ישר, אפשר לחשוב על אוריטציה כעל בחירת כיוון התקדמות לאורך הישר.
• על מישור אפשר לחשוב על אוריטציה כבחירת כיון סיבוב (עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון).
• במרחב, אפשר לחשוב על אוריטציה כעל בחירה של כלל יד ימין.

אוריינטציה על מרחב וקטורי ממשי כללי, היא בחירה של איזה בסיסים (סדורים) יקראו חיוביים, ואיזה יקראו שלליים.

הגדרה

יהיה $V$ מרחב ליניארי ממשי $n$ ממדי.

הגדרה באמצעות בסיסים

ניתן להגדיר את המושג האוריינטציה על $V$ כך:

הגדרה: אוריינטציה על $V$ היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.

נשים לב כי סדר האיברים בבסיס חשוב. מטריצת המעבר בין שני בסיסים עם סידור שונה היא מטריצת תמורה. בהתאם, מה שיקבע אם האוריינטציות שלהם יהיו זהות או הפוכות, הוא הדטמיננטה של מטריצת תמורה זאת או, במילם אחרות, הסימן של התמורה.

דרך אחרת להגדיר יחס שקילות זה היא על ידי השאלה הבאה: האם אפשר לעבור באופן הדרגתי ורציף מבסיס אחד לבססי אחר, כך שבכל שלב במעבר הווקטורים תמיד יהוו בסיס. עם התשובה לשאלה זאת היא חיבית אז הבסיסם שקולים.

מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב ליניארי (לא טריוויאלי) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.

אוריינטציה סטנדרטית

על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי. אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב. לדוגמה על המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:

$\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \ \\0\\1\\\end{pmatrix}}\right\rangle$.

נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.

באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה $\langle v,w,v\times w\rangle$ נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית. כמו כן, במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה.

הגדרה באמצעות תבניות

ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על $V$ גם באמצעות $n$-תבניות אנטי-סימטריות (להלן תבניות). תבנית היא פונקציה

$$\omega :{\underset {n{\text{ copies }}}{\underbrace {V\times \dots \times V} }}\to \mathbb {R}$$

המקיימת:

• $\omega$ ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב-$V$
• $\omega$ אנטי-סימטרית ביחס להחלפת כל שני משתנים ב-$V$.

מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי). כעת ניתן להגדיר

הגדרה: אוריינטציה על $V$ היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.

הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס $B=\langle e_{1},\dots ,e_{n}\rangle$ ב-$V$ אפשר להתאים תבניות $\omega _{B}$ באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת $\omega _{B}(e_{1},\dots ,e_{n})=1$ הדטרמיננטה של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.

אוריינטציה על נקודה

ההגדרות האלה לא ברורות במקרה ש $n=0$. במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית. .

העתקות שומרות אורינטציה

העתקה ליניארית הפיכה ממרחב וקטורי $V$ לעצמו נקראת שומרת אוריינטציה אם הדטרמיננטה שלה היא חיובית. והופכת אורינטציה אם הדטרמיננטה שלה היא שלילית. הגדרה אלטרנטיבית להעתקה שומרת אורינטציה היא ההעתקה שניתן לשנות באופן הדרגתי ורציף כך שתיתקבל בסופו של דבר העתקת הזהות וכך שבכל שלבי הביניים ההעתקה תישאר הפיכה. במילים אחרות, ההעתקות הליניאריות שומרות האורנטציה הן בידיוק ההעתקות שנמצאת ברכיב הקשירות של היחידה בחבורת הההעתקות הפיכות $GL(V)$.

דוגמאות

• ב-$\mathbb {R} ^{3}$, סיבוב מסביב לציר ה-$Z$ בזווית $\alpha$ שומר אוריינטציה.

$\mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

• השיקוף לפי מישור ה-$XY$ הופך אוריינטציה.

$\mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

• מטריצת תמורה שומרת אורינטציה אםם התמורה המתאימה היא זוגית

קשר לאוריינטציה על יריעה

מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי עומד בבסיס מושג האוריינטציה על יריעה חלקה. אוריינטציה על יריעה חלקה היא בחירה (רציפה) של אורינטציה על המרחב המשיק בכל נקודה של היריעה. בשונה ממרחבים ליניאריים, לא על כל יריעה חלקה יש אורינטציה. יריעה חלקה שעליה ניתן לבחור אורינטציה נקראת אוריינטבילית

הגדרת מושג האוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית בדרך כלל לא מתבססת על מושג האורינטציה על מרחב ליניארי, אולם מושג האורינטציה על מרחב ליניארי מספק אינטואיציה טובה עבור הגדרת מושג אוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית.

ראו גם

• אוריינטציה (מתמטיקה)

קישורים חיצוניים

• אוריינטציה, באתר MathWorld (באנגלית)