מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות
(בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק
![{\displaystyle \ \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c58677601591abf0780e8d5dc38470e4a52ac0c)
כאשר
ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).
בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\gamma ^{1}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{x}\\-\sigma ^{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ee1e255e52691bfd58f907a29dbf40566890d3)
![{\displaystyle \gamma ^{2}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{y}\\-\sigma ^{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\gamma ^{3}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{z}\\-\sigma ^{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c44f07093ca82bd8e2e681b08dc153ff280da06)
כאשר
הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.
בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות
![{\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83dbb62c7c523f18d4b0c2375d451a6f4df45f6)
בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:
|
|
|
|
כאשר
הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.
בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות
![{\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}-I&0\\0&I\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbcfecc41e76df0cea804290e69cb632f76d3d0)
בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:
- :
![{\displaystyle \psi _{L}={\begin{pmatrix}I&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\quad \psi _{R}={\begin{pmatrix}0&0\\0&I\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I+\gamma ^{5}}{2}}\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8365edd717c94759203d9e20cabb28a7b99d8b)
פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20bc3d27f9d8fc886f05aa211f4b07d18b3380b)
![{\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ede81f049b58b93704771287508457c6c69681)
- מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:
![{\displaystyle \ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4\times 4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fafdd8927a563316037bca630da67da23f8b74c)
- כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו-
היא מטריקת מינקובסקי
.
- בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל
מתקיים ![{\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65506df0762756e6f73b8279b7e2197e26aeed39)
- מכאן נובע ש:
![{\displaystyle \ (\gamma ^{0})^{2}=I_{4\times 4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71973f423306308dfa60863da1683075a1ff5750)
כאשר k=1,2,3.
- ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
![{\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbca8608dc4ff40f11b69d1a258075d02c620ad3)
כאשר k=1,2,3.
- מטריצת הכיראליות
מקיימת:
![{\displaystyle \ (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c215b9f53015da7585f9b3952970abfcd7b1946c)
![{\displaystyle \ (\gamma ^{5})^{2}=I_{4\times 4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a875de71ad93b0d088c754d25aaf3abbc422219)
, כלומר: ![{\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5921f3b16ba7a83e0592107a82a23ff7153cc82b)
- מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.
Num |
Identity
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
Num |
Identity
|
1 |
העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות היא אפס.
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:
- ליניאריות:
![{\displaystyle \ \operatorname {tr} (\alpha A+\beta B)=\alpha \operatorname {tr} (A)+\beta \operatorname {tr} (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96817d59bf2cd89306e0effb978ff51a7bee4bbe)
- ציקליות:
![{\displaystyle \ \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61f13981272c6bb8e9f40a8c03ed88c8b027dab)
אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי
![{\displaystyle \ S^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a0e97c608ba25ca0e7e03a28b35a7ecd48e7ad)
ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי
![{\displaystyle \ S^{ij}={\frac {i}{4}}[\gamma ^{0},\gamma ^{k}]=-{\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma ^{k}&0\\0&-\sigma ^{k}\end{pmatrix}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb9ce55018355ba5772e323ef65bda1eb1d88bb)
והסיבובים נתונים על ידי
![{\displaystyle \ S^{ij}={\frac {i}{4}}[\gamma ^{i},\gamma ^{j}]={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}{\begin{pmatrix}\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}\Sigma ^{k}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907c600a11c6709a4d3934924c151259fc767454)
- Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50