מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן

מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (באנגלית: Linear time-invariant system, הידועה גם בתור מערכת LTI), היא מושג במתמטיקה שימושית, שיש לו יישומים בתחומים כגון מעגלים חשמליים, עיבוד אותות, תורת הבקרה, ספקטרוסקופיית NMR, סייסמולוגיה ועוד.

המונח LTI מיוחס לתגובה של מערכת ליניארית וקבועה בזמן עבור אות כניסה שרירותי. ההתקדמות של מערכות אלה בדרך כלל נמדדת כאשר עובר זמן (למשל, בגל אקוסטי), אבל ביישומים כמו עיבוד תמונה ותורת השדות, מערכות LTI מתקדמות גם בממדים מרחביים. לפיכך, מערכות אלה נקראות גם ליניאריות בלתי תלויות בטרנסלציה, כדי לתת לתאוריה את ההיקף הכללי ביותר. במקרה הכללי של זמן דיסקרטי (כלומר, דגימות), מערכות ליניאריות בלתי תלויות בהיסט (shift) הוא המונח המקביל. דוגמה טובה למערכות LTI ניתן למצוא במעגלים חשמליים, אשר עשויים להיות מורכבים מנגדים, קבלים וסלילים.

סקירה

הגדרת המאפיינים של כל מערכת LTI הן ליניאריות וקביעות (אי-תלות) בזמן.

• ליניאריות אומרת שהקשר בין הכניסה למוצא המערכת היא העתקה ליניארית: אם עבור הכניסה $x_{1}(t)\,$ המוצא הוא $y_{1}(t)\,$, ועבור הכניסה $x_{2}(t)\,$ הוא $y_{2}(t)\,$, אז עבור הצירוף הליניארי של הכניסות $a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)\,$ המוצא יהיה $a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t)\,$, עם אותם קבועים $a_{1},a_{2}$. אפשר להרחיב תכונה זאת למספר רב יותר של כניסות, מוכפלות במספרים ממשיים $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}$,

  כך שהכניסה $\sum _{k}c_{k}\,x_{k}(t)$ מייצרת יציאה $\sum _{k}c_{k}\,y_{k}(t)\,$. (נוסחה 1)

  בפרט:

  הכניסה $\int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\,x_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega$ מייצרת יציאה $\int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\,y_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega \,$

  כאשר $c_{\omega }$ and $x_{\omega }$ הם סקלארים וכניסות אשר משתנות לאורך רצף אינדקסים $\omega$. לכן, אם פונקציית כניסה יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף של פונקציות כניסה, המחוברות בצורה "ליניארית", כפי שמוצג בדוגמה, אז פונקציית המוצא המתאימה יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף פונקציות יציאה מתאימות, באותה טרנספורמציה ליניארית שבכניסה.

• קביעות בזמן אומר שעבור כניסה בהזזה של T שניות, המוצא יהיה זהה למעט עיכוב זמן של T שניות. כלומר, אם המוצא עבור הכניסה $x(t)$ הוא $y(t)$, אז המוצא עבור הכניסה $x(t-T)$ הוא $y(t-T)$. לפיכך, המערכת קבועה בזמן כי המוצא אינו תלוי בזמן שהכניסה נכנסת.

התוצאה היסודית במערכות LTI היא שכל מערכת LTI יכולה להיות מאופיינת כולה על ידי פונקציה אחת, שהיא התגובה להלם של המערכת. עבור כל כניסה, המוצא של המערכת הוא פשוט קונבולוציה של הכניסה עם תגובת ההלם. שיטה זו של ניתוח נקראת לעיתים קרובות נקודת מבט של "מישור הזמן". אותה התוצאה נכונה עבור מערכות קבועות בזמן הדיסקרטי אשר האותות הן בזמן בדיד, והקונבולוציה מוגדרת על רצפים.

מערכת היחסים בין מישור הזמן ואת מישור התדר

באופן שקול, ניתן לאפיין כל מערכת LTI במישור התדר על פונקציות התמסורת של המערכת, שהיא התמרת לפלס של תגובת ההלם של המערכת (או התמרת Z במקרה של מערכות בזמן הבדיד). כתוצאה ממאפיינים אלה, מוצא המערכת במישור התדר הוא סכום של פונקציה המעבר והטרנספורם של הכניסה. במילים אחרות, הקונבולוציה בזמן הבדיד שקולה לכפל במישור התדר.

המודל של מערכת LTI טוב בתיאור מערכות חשובות רבות. רוב מערכות ה-LTI מתוארות כ"קלות לניתוח", לפחות ביחס לאלה שלא LTI. כל מערכת שיכולה להיות ממודלת על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית עם מקדמים קבועים היא מערכת LTI. דוגמה למערכת כזאת הם מעגלים חשמליים המורכבת מנגדים, קבלים וסלילים (למשל מעגל RLC).

מערכת שאינה קבועה בזמן אך ליניארית ניתנת לפתרון על ידי משפט גרין, למשל. ניתן להשתמש באותה שיטה כאשר נתוני הבעיה אינם מלאים.

מערכות רציפות

תגובה להלם וקונבולוציה

ערכים מורחבים – תגובה להלם, קונבולוציה

לכל מערכת LTI, ניתן להגדיר פונקציית תגובה להלם, שמבטאת את המוצא של המערכת עבור כניסה של פונקציית הלם $x(t)=\delta (t)$ (הדלתא של דיראק), ומסומנת באות h:‏ $y(t)=h(t)$.

ההתנהגות של מערכת ליניארית וקבועה בזמן עבור כניסה כללית $x(t)$ ואות מוצא $y(t)$ מתוארת על ידי אינטגרל הקונבולוציה עם התגובה להלם:

$y(t)=(x*h)(t)\quad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau \quad =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,$

כאשר המעבר נעשה על ידי שימוש בתכונת הקומוטטיביות.

עבור מערכת ליניארית, O צריכה לקיים את נוסחה 1:

$O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau \,$ (נוסחה 2)

מדרישת הבלתי-תלות בזמן היא מקיימת גם:

$O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}\ {\stackrel {\quad }{=}}\ y(t-\tau )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{x\}.$ (נוסחה 3)

כעת נוכל לרשום את תגובת ההלם כ- $\textstyle h(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{\delta (u);\ u\}$.

באופן דומה:

$h(t-\tau )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}$

כאשר הצורה של צד ימין של נוסחה 2 נשמרת עבור המקרה $\textstyle c_{\tau }=x(\tau )$ ו- $\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau )$. נוסחה 2 מאפשרת את השלב הבא:

$(x*h)(t)=O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ y(t).$

לסיכום, קלט הפונקציה, $\textstyle \{x\}$, יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף של פונקציות הלם מוזזות בזמן, בשילוב "ליניארי". תכונת הליניאריות של המערכת מאפשרת את תגובת המערכת להיות מיוצגת על ידי רצף של תגובות הלם מתאימות, מסוכמות באותה הדרך, ותכונת הקביעות בזמן מאפשרת את ייצוג הקומבינציה להיות מיוצגת על ידי אינטגרל הקונבולוציה.

אקספוננטים כפונקציות עצמיות

פונקציה עצמית היא פונקציה שעבורה פעולת האופרטור היא מכפלה של אותה פונקציה בקבוע. זאת אומרת, f היא פונקציה עצמית של ${\hat {\mathcal {H}}}$, אם

${\hat {\mathcal {H}}}f=\lambda f,$

כאשר $\lambda$ הוא קבוע מספרי, שנקרא ערך עצמי.

פונקציות האקספוננט $Ae^{st}$, כאשר $A,s\in \mathbb {C}$, הן פונקציות עצמיות של אופרטור ליניארי וקבוע בזמן.

ניתן להוכיח זאת באופן הבא: נניח שהכניסה היא $x(t)=Ae^{st}$. היציאה של המערכת היא הקונבולוציה עם התגובה להלם $\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau$

אשר לפי תכונת הקומוטטיביות של הקונבולוציה, שקולה ל:

${\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\operatorname {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\end{aligned}}$

כאשר הסקלר

$H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t$

תלוי רק בפרמטר s, ולא במשתנה t.

תגובת המערכת היא טרנספורמציה ליניארית של הכניסה. בפרט, עבור כל $A,s\in \mathbb {C}$ היציאה של המערכת היא המכפלה של הכניסה $Ae^{st}$ והקבוע $H(s)$. לפיכך, $Ae^{st}$ היא פונקציה עצמית של מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (LTI), והערך העצמי המתקבל הוא $H(s)$.

דוגמה

נאמר כי $v(t)=e^{i\omega t}$ אקספוננט מדומה ($i^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}-1$) והגרסה המוזזת בזמן שלו הוא: $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ .

$H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ כטרנספורמציה ליניארית של האקספוננט לפי הקבוע $e^{i\omega a}$ .

$H[v_{a}](t)=H[v](t+a)$ לפי קביעות בזמן לפי $H$ .

אז, $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ . עבור $t=0$ ונקבל:

$$H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)$$

כלומר, עבור אקספוננט מדומה $e^{i\omega \tau }$ ככניסה, נקבל אקספוננט מדומה עם אותו תדר במוצא.

התמרת פורייה והתמרת לפלס

ערכים מורחבים – התמרת לפלס, התמרת פורייה

תכונת הפונקציה העצמית של אקספוננטים שימושית מאוד כדי לנתח את המערכת בכלים אנילטיים. במסגרת ניתוח זה פותחו שתי התמרות המאפשרות להתמיר את פונקציית הכניסה והמוצא למרחב אחר שבו נוח יותר לעבוד. התמרת לפלס:

${\mathcal {L}}\{x(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t$

כלומר התמרת לפלס של פונקציה היא הפריסה שלה על גבי הפונקציות העצמיות.

בפרט עבור פונקציית התגובה להלם:

$H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t$

היא בדיוק הדרך למצוא את הערכים העצמיים מתוך התגובה להלם.

התמרה נוספת נוצרת כאשר מתמקדים בפונקציות סינוסידליות טהורות (למשל פונקציות אקספוננטים מדומים מהצורה $e^{j\omega t}$ כאשר $\omega \in \mathbb {R}$ ו- $j^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}-1$). התמרת פורייה $H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}$ מביאה את הערכים העצמיים עבור פונקציות סינוסוידאליות מדומות טהורות. שתי הפונקציות $H(s)$ ו- $H(j\omega )$ נקראות "תגובת המערכת", "פונקציית המערכת" או פונקציית המעבר.

התמרת לפלס בדרך כלל משמשת אותות חד-צדדיים, למשל, אותות ששווים לאפס עבור כל $t<t_{0}$, כאשר $t_{0}$ ערך קבוע כלשהו.

בגלל תכונת הקונבולוציה של שתי ההתמרות, הקונבולוציה שמביאה את מוצא המערכת יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה במישור התדר, עבור מערכות אשר קיימות במישור התדר:

$y(t)=(h*x)(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \ =\ {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}$

דוגמאות

• דוגמה פשוטה לכך היא אופרטור הנגזרת:
  • ${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)$ (כלומר האופרטור ליניארי)
  • ${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ (כלומר האופרטור קבוע בזמן)

כאשר מתמירים את הנגזרת בהמרת לפלס, הנגזרת מותמרת להתמרת הפונקציה המקורית מוכפלת במשתנה הלפלס, s.

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)$

הפשטות של התמרת הנגזרת מעידה על למה התמרת לפלס יעילה על פונקציות מעבר.

• עוד דוגמה פשוטה היא אופרטור הממוצע

${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda .$

מליניאריות האינטגרל,

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}$

ליניארי. בנוסף, מפני ש-

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\operatorname {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\operatorname {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}$

קבוע בזמן. למען האמת, ${\mathcal {A}}$ יכולה להיות מיוצגת כקונבולוציה עם פונקציית המלבן $\Pi (t)$. כלומר,

${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda ,$

כאשר פונקציית המלבן היא:

$\Pi (t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|\leq {\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}$

תכונות חשובות של מערכות

חלק מהתכונות החשובות ביותר של מערכת הן סיבתיות ויציבות.

סיבתיות

מערכת נקראת "סיבתית" כאשר מוצא המערכת נקבע אך ורק על פי ערכי הכניסה בעבר ובהווה, ולא על פי ערכי הכניסה בעתיד.

עבור התגובה להלם, מערכת כזאת מתקבלת רק כאשר לכל t שלילי, התגובה מתאפסת, משום שפונקציית ההלם שהיא הכניסה, גם היא מתאפסת בתחום זה. בייצוג מתמטי:

$\forall t(t<0\Rightarrow h(t)=0)$

כאשר $h(t)$ הוא התגובה להלם. באופן כללי, לא ניתן לדעת האם המערכת היא סיבתית מתוך התמרת לפלס, מפני שההתמרה ההפוכה אינה יחידה. רק כאשר התחום התכנסות ידוע, ניתן לדעת האם המערכת סיבתית.

יציבות

מערכת נקראת "יציבה במובן BIBO" אם לכל כניסה חסומה נקבל מוצא סופי (כלומר, חסום גם כן). בייצוג מתמטי, אם כל כניסה שמקיימת:

$\exists k(\ \|x(t)\|_{\infty }<k)$

מקבלים מוצא שמקיים:

$\exists m(\ \|y(t)\|_{\infty }<m)$

(כלומר, המקסימום של $|x(t)|$ סופית גוררת שהמקסימום של $|y(t)|$ סופית גם כן), לכן המערכת יציבה.

תנאי הכרחי ומספיק הוא שהתגובה להלם, $h(t)$, נמצאת במרחב L¹ (בעלת נורמת $L^{1}$ סופית):

$\exists k(\ \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\operatorname {d} t<k)$

במישור התדר, תחום ההתכנסות חייבת לכלול את הציר המדומה $s=j\omega$.

לדוגמה, מסנן מעביר תדרים נמוכים (LPF) אידיאלי עם תגובה להלם של פונקציית sinc היא לא יציבה במובן BIBO, מפני שנורמת L¹ שלה לא סופית. לכן, עבור כניסה חסומה לא הכרחי שנקבל מוצא חסום. בפרט, עבור הכניסה אפס ל-$t<0\,$ ושווה לסינוסואיד בתדר cutoff ל- $t>0\,$, אז המוצא לא יהיה חסום לכל זמן מלבד אלה שחוצים את האפס.

מערכות בדידות

כמעט לכל מערכת בזמן רציף יש חלק משלים במערכת בזמן בדיד.

מערכות בדידות ממערכות רציפות

ערך מורחב – דגימה (עיבוד אותות)

בהקשרים רבים, מערכת זמן בדיד (זמן דיסקרטי, DT) היא למעשה חלק ממערכת זמן רציפה (CT) גדולה יותר. לדוגמה, מערכת הקלטה דיגיטלית לוקחת צליל אנלוגי, מבצעת דיגיטציה, אולי מעבדת את האותות הדיגיטליים, ומשמיעה צליל אנלוגי.

אם $x(t)$ הוא אות אנלוגי רציף, ממיר אנלוגי לדיגיטלי יהפוך אותו לאות דיגיטלי DT:

$x[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x(nT),\qquad \,n\in \mathbb {Z}$

כאשר T זה זמן הדגימה. חשוב מאוד להגביל את טווח התדרים של אות הכניסה לייצוג נאמן באות בדיד, כך שמשפט הדגימה יבטיח שאף מידע של האות הרציף לא יאבד. אות בדיד יכול להכיל טווח תדרים רק עד ${\frac {1}{2T}}$. תדרים אחרים "יתקפלו" לאותו טווח.

תגובה להלם וקונבולוציה

יהי $\{x[m-k];\ m\}$ ייצוג של הרצף $\{x[m-k]|\forall m\in \mathbb {Z} \}$. יהי הייצוג הקצר יותר $\{x\}\,$ תייצג $\{x[m];\ m\}$.

מערכת בדידה הופכת רצף קלט $\{x\}$, לרצף פלט $\{y\}$. באופן כללי, כל אלמנט של הפלט תלוי בכל רכיב הקלט. נייצג את אופרטור הטרנספורמציה על ידי $O$, ועתה אנו יכולים לכתוב:

$y[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{x\}$

נשים לב שאם ההתמרה עצמה משתנה עם n, רצף הפלט הוא קבוע בלבד, והמערכת אינה מעניינת. במערכת טיפוסית, [y[n "תלויה בדרך כלל מהאלמנטים של x שהאינדקסים שלהם קרובים ל- n.

עבור מקרה מיוחד של הדלתא של קרונקר, $x[m]=\delta [m]$, רצף המוצא יהיה התגובה להלם:

$h[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{\delta [m];\ m\}.\,$

עבור מערכת ליניארית, $O$ צריכה לקיים את:

$O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.\,$ (נוסחה 4)

והתנאי לקביעות בזמן:

${\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ y[n-k]\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}$ (נוסחה 5)

במערכת כזאת, התגובה להלם, $\{h\},\,$, מתארת את המערכת לגמרי. כלומר, עבור כל רצף קלט, רצף הפלט יכול להיות מחושב במונחים של קלט התגובה להלם. כדי לראות איך זה נעשה, יש לשקול את הזהות:

$x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],\,$

אשר מייצגת את $\{x\}\,$ כסכום של דלתאות במושקלים. לכן,

${\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}$

כאשר עוררנו את נוסחה 4 עבור המקרה $c_{k}=x[k]$ ו-$x_{k}[m]=\delta [m-k]$.

ובגלל נוסחה 5, נוכל לכתוב:

${\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ h[n-k].\,\end{aligned}}$

לכן:

$=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]\,$	$y[n]\,$
	$=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],$ (קומוטטיביות)

אשר מניבה את הנוסחה המוכרת עבור קונבולוציה בדידה.

אקספוננציאליים כפונקציות עצמיות

פונקציה עצמית היא פונקציה שעבורה הפלט של האופרטור היא מכפלה של אותה פונקציה בקבוע. זאת אומרת, f היא פונקציה עצמית של ${\mathcal {H}}$, אם

${\mathcal {H}}f=\lambda f,$

כאשר $\lambda$ הוא קבוע, שנקרא בהקשר זה ערך עצמי.

את פונקציות האקספוננט $z^{n}=e^{sTn}$, כאשר $n\in \mathbb {Z}$, הם פונקציות עצמיות של אופרטור ליניארי, וקבוע בזמן. $T\in \mathbb {R}$ הוא קצב הדגימה, וכן $z=e^{sT}$, $z$, $s\in \mathbb {C}$. הוכחה פשוטה ממחישה את המושג הזה.

נניח שהכניסה היא $x[n]=\,\!z^{n}$ . היציאה של המערכת עבור תגובה להלם $h[n]$ יהיה:

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}$

כאשר לפי תכונת הקומוטטיביות של הקונבולוציה, שקולה ל:

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)$

כאשר הסקלר

$H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}$

תלוי רק בפרמטר z.

אז $z^{n}$ היא פונקציה עצמית של מערכת LTI מפני שתגובת המערכת שקולה לקלט כפול הקבוע $H(z)$.

התמרת Z והתמרת פורייה הבדידה

תכנות הפונקציה העצמית של אקספוננציאליים שימושית מאוד כדי להבין יותר על המערכת LTI. התמרת Z:

$H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$

היא בדיוק הדרך למצוא את הערכים העצמיים מתוך התגובה להלם. בפרט, נתעניין בפונקציות סינוסוידליות טהורות (למשל פונקציות אקספוננציאליים מרוכבים מהצורה $e^{j\omega n}$ כאשר $\omega \in \mathbb {R}$ ו- $j^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}-1$). התמרת פורייה הבדידה (DTFT) $H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ מביאה את הערכים העצמיים עבור פונקציות סינוסוידאליות מדומות טהורות. שתי הפונקציות $H[z]$ ו- $H(e^{j\omega })$ נקראות "תגובת המערכת", "פונקציית המערכת" או פונקציית המעבר.

התמרת Z בדרך כלל מופעלת על אותות חד-צדדיים, למשל, אות ששווה לאפס עבור כל $t<t_{0}$, כאשר $t_{0}$ ערך קבוע כלשהו.

בגלל תכונת הקונבולוציה של שתי ההתמרות, הקונבולוציה שמביאה את מוצא המערכת יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה במישור התדר, עבור מערכות אשר קיימות במישור התדר:

$y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}$

דוגמאות

• דוגמה פשוטה לכך היא אופרטור העיכוב (delay):

  $D\{x[n]\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x[n-1]$

  • $D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]$ (כלומר האופרטור ליניארי)
  • $D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]\,$ (כלומר האופרטור קבוע בזמן)

כאשר מתמירים את הנגזרת בהמרת Z, הנגזרת מותמרת להתמרת הפונקציה המקורית מוכפלת במשתנה, z⁻¹. כלומר,

${\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).$

• עוד דוגמה פשוטה היא אופרטור הממוצע

${\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k]$

מליניאריות הסכום,

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}$

ליניארי. בנוסף, מפני ש-

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}$

קבוע בזמן.

תכונות חשובות של מערכות

הקשר שבין הקלט לפלט במערכת LTI בדידה יכול להיות מתואר לגמרי על ידי תגובת ההלם של המערכת $h[n]$. חלק מהתכונות החשובות ביותר של מערכת הן סיבתיות ויציבות. בניגוד למערכות בזמן רציף, מערכות בדידות לא סיבתיות יכולות להתממש. זה טריוויאלי כדי להפוך מערכת עם תגובה להלם סופית סיבתי על ידי הוספת עיכובים (Delays). זה אפשרי אפילו לעשות מערכות שלא סיבתיות עם תגובה להלם אינסופית.

סיבתיות

מערכת בדידה נקראת "סיבתית" כאשר מוצא המערכת נקבעת אך ורק על פי ערכי הכניסה בעבר ובהווה.

תנאי הכרחי ומספיק למערכת סיבתית:

$\forall n(n<0\Rightarrow h[n]=0)$

כאשר $h[n]$ הוא התגובה להלם. באופן כללי, לא ניתן לדעת האם המערכת היא סיבתית מתוך התמרת Z, מפני שההתמרה ההפוכה אינה יחידה. רק כאשר התחום התכנסות ידוע, ניתן לדעת האם המערכת סיבתית.

יציבות

מערכת נקראת "יציבה במובן BIBO" אם לכל כניסה חסומה נקבל מוצא סופי (כלומר, חסום גם כן). בייצוג מתמטי, אם כל כניסה שמקיימת:

$\exists k(\ \|x[n]\|_{\infty }<k)$

מקבלים מוצא שמקיים:

$\exists k(\ \|y[n]\|_{\infty }<k)$

(כלומר, המקסימום של $|x[n]|$ סופית גוררת שהמקסימום של $|y[n]|$ סופית גם כן), לכן המערכת יציבה. תנאי הכרחי ומספיק הוא שהתגובה להלם, $h[n]$, נמצאת בL¹ (בעלת נורמת$L^{1}$ סופית):

$\exists k(\|h[n]\|_{1}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<k)$

במישור התדר, תחום ההתכנסות חייבת לכלול את מעגל היחידה (כלומר, המקום הגאומטרי המקיים $|z|=1$ עבור $z$ מרוכב)

ראו גם

• תגובת הלם
• פונקציית גרין

לקריאה נוספת

• Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A (2007). Signals, systems and Transforms. Prentice Hall. ISBN 0-13-041207-4.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link)
• Hespanha,J.P. (2009). Linear System Theory. Princeton university press. ISBN 0-691-14021-9.
• Crutchfield, Steve (12 באוקטובר 2010), "The Joy of Convolution", Johns Hopkins University, נבדק ב-21 בנובמבר 2010 {{citation}}: (עזרה)
• Vaidyanathan, P. P.; Chen, T. (במאי 1995). "Role of anticausal inverses in multirate filter banks – Part I: system theoretic fundamentals". IEEE Trans. Signal Proc. 43 (6): 1090. Bibcode:1995ITSP...43.1090V. doi:10.1109/78.382395. {{cite journal}}: (עזרה)

קישורים חיצוניים

• ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems – קדימון קצר על ניתוח מתמטי של מערכות LTI חשמליות
• ECE 209: Sources of Phase Shift – הסבר אינטואיטיבי של המקור של הזזות בפאזה בשתי מערכות LTI חשמליות משותפות
• JHU 520.214 Signals and Systems course notes – קורס מקוצר על תורת מערכת ה- LTI, הולם להוראה עצמית
• LTI system example: RC low-pass filter – תגובת ההגבר ותגובת הפאזה