כיוון שהטור האינסופי אמור להתכנס אל הפונקציה בנקודה, השארית מתארת את השגיאה שבהחלפת הפונקציה בסכום חלקי של הטור. ישנן מספר שיטות לחסום שגיאה זאת. בניהן:
אם פונקציה ממשית היא גזירה בנקודה אז יש לה קירוב ליניארי בנקודה . זה אומר שקיימת פונקציה המקיימת:
.
כאן
הוא הקירוב הליניארי של בנקודה . הגרף של הוא הקו המשיק לגרף של ב-. השגיאה בקירוב היא: .
אם היינו רוצים קירוב טוב יותר ל-, היינו מתחשבים גם בשינוי השיפוע של f, כלומר בנגזרת השנייה של ב- - כלומר נקרב את הפונקציה קירוב ריבועי על ידי פולינום ריבועי במקום פונקציה ליניארית. במקום להשתמש בנגזרת אחת של ב-, ניתן להשתמש בשתי נגזרות, וכך להשתמש בפולינום שיש לו אותו שיפוע וקעירות כמו לפונקציה בנקודה . הפולינום הריבועי שמתקבל הוא:
.
באופן דומה, ניתן לקרב את הפונקציה על ידי פולינום מסדר עבור כל - טבעי. נסמן פולינום זה ב - ואת השארית נסמן ב .
צורות השארית של לאגראנז' וקושי קובעות שהשארית תמיד תלויה בקצב השינוי של הנגזרת ה-n (כלומר בנגזרת ה-n+1) בנקודת ביניים בקטע שבו נעשה הפיתוח. אינטואיציה לנכונות הטענה היא שכל הנגזרות מסדר n + 2 ומעלה כבר "מובלעות" בהתנהגות של הנגזרת ה-n+1 בקטע בו נעשה הפיתוח, ולכן הערך הממוצע של בקטע (a,x0) כבר מכיל את המידע על ההתנהגות של נגזרות מסדרים גבוהים יותר.
נניח כי ברצוננו להעריך את הקבוע המתמטי e. מתקיים: . כמו כן פיתוח טיילור מסדר n של פונקציית האקספוננט סביב
a = 0 הוא . לכן מתקיים: כאשר x בקטע . ערכה המרבי של הנגזרת בקטע (0,1) מתקבל בקצה הקטע, כלומר ב-x = 1 לכן מתקיים:
. כיוון שידוע ש- מתקבלת התוצאה: .
נניח כי ברצוננו להעריך את בהתאם לנוסחת לייבניץ לפאי. מתקיים: (כאשר לכל היותר 1). מן הצורה המתמטית של פיתוח טיילור של נובע ש-, לכן נקבל שהשארית בחישוב היא , כלומר הטור מתכנס לאט מאוד (עקב העלייה המהירה בנגזרות של ).