מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
G-מודול הוא חבורה אבלית
M
{\displaystyle M}
שעליה פועלת חבורה
G
{\displaystyle G}
באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של
M
{\displaystyle M}
.
G
{\displaystyle G}
-מודולים משמשים להגדרת קוהומולוגיה של חבורות .
תהי G חבורה ותהי
M
{\displaystyle M}
חבורה אבלית כך ש-
G
{\displaystyle G}
פועלת של
M
{\displaystyle M}
משמאל, כלומר:
G
×
M
→
M
;
(
g
,
m
)
↦
g
⋅
m
{\displaystyle G\times M\to M\quad ;\quad (g,m)\mapsto g\cdot m}
כך ש-
1
G
⋅
m
=
m
{\displaystyle 1_{G}\cdot m=m}
ולכל
g
1
,
g
2
∈
G
{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}
ו-
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
מתקיים
g
1
g
2
⋅
m
=
g
1
⋅
(
g
2
⋅
m
)
{\displaystyle g_{1}g_{2}\cdot m=g_{1}\cdot (g_{2}\cdot m)}
.
כדי ש-
M
{\displaystyle M}
תהייה
G
{\displaystyle G}
-מודול נדרוש שפעולת
G
{\displaystyle G}
מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של
M
{\displaystyle M}
, כלומר
∀
g
∈
G
:
∀
a
,
b
∈
M
:
g
⋅
(
a
+
b
)
=
g
⋅
a
+
g
⋅
b
{\displaystyle \forall g\in G:\forall a,b\in M:g\cdot (a+b)=g\cdot a+g\cdot b}
.
במקרה זה אנו אומרים ש-
M
{\displaystyle M}
הוא
G
{\displaystyle G}
-מודול שמאלי . אם
G
{\displaystyle G}
פועלת על
M
{\displaystyle M}
מימין באופן דומה נקבל
G
{\displaystyle G}
-מודול ימני. את קטגוריית ה-
G
{\displaystyle G}
מודולים השמאליים מסמנים G-Mod ואת קטגוריית ה-
G
{\displaystyle G}
-מודולים הימניים מסמנים Mod-G . אלו הן קטגוריות אבליות .
בסעיף זה נניח שכל ה-
G
{\displaystyle G}
-מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל-
G
{\displaystyle G}
-מודולים ימניים.
העתקה
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\rightarrow N}
תיקרא מורפיזם של
G
{\displaystyle G}
-מודולים או העתקה
G
{\displaystyle G}
-ליניארית או
G
{\displaystyle G}
-הומומורפיזם אם היא שומרת על הפעולה של
G
{\displaystyle G}
(כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:
f
(
a
+
b
)
=
f
(
a
)
+
f
(
b
)
{\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}
ו-
f
(
g
⋅
m
)
=
g
⋅
f
(
m
)
{\displaystyle f(g\cdot m)=g\cdot f(m)}
.
האוסף של
G
{\displaystyle G}
-מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים קטגוריה אבלית G-Mod . ניתן לזהות אותה עם חוג החבורה
Z
[
G
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [G]}
.
תת-
G
{\displaystyle G}
-מודול
A
{\displaystyle A}
של
G
{\displaystyle G}
-מודול
M
{\displaystyle M}
הוא תת-חבורה
A
⊆
M
{\displaystyle A\subseteq M}
כך ש-
G
⋅
A
⊆
A
{\displaystyle G\cdot A\subseteq A}
, כלומר
g
⋅
a
∈
A
{\displaystyle g\cdot a\in A}
לכל
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
ו-
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
. במקרה כזה אפשר להגדיר את
G
{\displaystyle G}
-מודול המנה
M
/
A
{\displaystyle M/A}
כחבורת מנה עם הפעולה
g
⋅
(
m
+
A
)
=
g
⋅
m
+
A
{\displaystyle g\cdot (m+A)=g\cdot m+A}
.
G
{\displaystyle G}
חבורה כלשהי,
M
=
(
Z
,
+
)
{\displaystyle M=(\mathbb {Z} ,+)}
ו-
G
{\displaystyle G}
פועלת טריוויאלית על
M
{\displaystyle M}
, כלומר:
g
⋅
z
=
z
{\displaystyle g\cdot z=z}
.
G
=
G
L
n
(
F
)
{\displaystyle G=\mathbf {GL} _{n}(F)}
החבורה הליניארית הכללית (
F
{\displaystyle F}
שדה ) ו-
M
=
F
n
{\displaystyle M=F^{n}}
מרחב וקטורי מעל
F
{\displaystyle F}
מממד
n
{\displaystyle n}
.
G
{\displaystyle G}
ו-
M
{\displaystyle M}
הן גם חבורות טופולוגיות . במקרה זה דורשים שהפעולה של
G
{\displaystyle G}
על
M
{\displaystyle M}
תהיה גם רציפה .