מספר הרטוגס

במתמטיקה, ובפרט, בתורת הקבוצות האקסיומטית, מספר הרטוגס הינו סוג מסויים של מספר מונה (קרדינלי). פרידריך הרטוגס הוכיח ב1915 שניתן, באמצעות אקסיומות צרמלו-פרנקל בלבד (כלומר, ללא אקסיומת הבחירה) שקיים מונה סדור היטב קטן ביותר הגדול ממונה נתון.

אין זה הכרחי שקבוצה מסויימת תהיה סדורה היטב על מנת להגדיר את מספר הרטוגס שלה: אם X קבוצה כלשהי, אזי מספר הרטוגס של X היא הסודר המינימלי α כך שאין העתקה חח"ע מ-α ל-X. אם לא ניתן להגדיר על X סדר טוב, לא נוכל לומר כי α הוא המונה הסדור היטב הקטן ביותר הגדול מעוצמת X, אך α נשאר המונה הסדור היטב הקטן ביותר אשר אינו גדול או שווה לעוצמת X. ההעתקה המעבירה את X ל-α נקראת לעיתים פונקציית הרטוגס

הוכחה

בהינתן מספר משפטים בסיסיים של תורת הקבוצות, ההוכחה פשוטה. יהי $\alpha =\{\beta \in {\textrm {Ord}}|\exists i:\beta \hookrightarrow X\}$. תחילה, נראה כי α הינה קבוצה.

1. X × X הינה קבוצה, בהסתמך על אקסיומת קבוצת החזקה.
2. קבוצת החזקה של X × X הינה קבוצה, בהסתמך על אקסיומת קבוצת החזקה.
3. המחלקה W המכילה את כל הסידורים הטובים הרפלקסיביים של תתי קבוצות של X הינה תת-מחלקה מוגדרת של הקבוצה הנ"ל, על סמך אקסיומת ההפרדה.
4. המחלקה של כל סודרי הערך של סידורים טובים של W היא קבוצה לפי אקסיומת ההחלפה, היות וניתן להגדירה באמצעות נוסחא פשוטה.

אבל, הקבוצה האחרונה הינה בדיוק α.

כעת, היות וקבוצה טרנזיטיבית של סודרים הינה סודר אף היא, α הינו סודר. בנוסף, אם ישנו שיכון מ-α לתוך X, אזי נקבל את הסתירה α>α. נטען ש-α הינו הסודר הקטן ביותר כך שאין שיכון ממנו אל X. אם β<α, אזי β מוכל ב-α ולכן קיים שיכון של β בX.

References

• Hartogs, Fritz (1915). "Über das Problem der Wohlordnung". Mathematische Annalen (בGerman). 76 (4): 438–443. doi:10.1007/BF01458215. JFM 45.0125.01תבנית:Inconsistent citations{{cite journal}}: תבנית ציטוט עם ציון שפה לא מזוהה (link) תחזוקה - ציטוט: postscript (link). Available at the DigiZeitschriften.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Charles Morgan. "Axiomatic set theory" (PDF). Course Notes. University of Bristol. נבדק ב-2010-04-10.