זהות הואה

 

באלגברה, זהות הואה , על שם הואה לואונג, הקובעת כי לכל זוג איברים a, b בחוג עם חילוק , מקיימים את המשוואה:

a - \left(a^{-1} + \left(b^{-1} - a\right)^{-1}\right)^{-1} = aba

כאשר $ab\neq 0,1$ . אפשר לקבל, על ידי החלפת $b$ ב- $-b^{-1}$ ,משוואה שקולה:

$$\left(a+ab^{-1}a\right)^{-1}+(a+b)^{-1}=a^{-1}.$$

משפט הואה

הזהות משמשת בהוכחה למשפט הואה, הקובעת שאם $\sigma$ היא פונקציה בין חוגים עם חילוק, כך ש:

$$\sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\quad \sigma (1)=1,\quad \sigma (a^{-1})=\sigma (a)^{-1},$$

אז $\sigma$ היא הומומורפיזם או אנטי-הומומורפיזם . משפט זה קשור למשפט היסודי של גיאומטריה פרוייקטיבית .

הוכחת הזהות

הזהות הבאה נכונה בכל חוג, כל עוד $a,b,ab-1$ כולם איברים הפיכים:

$$(a-aba)\left(a^{-1}+\left(b^{-1}-a\right)^{-1}\right)=1-ab+ab\left(b^{-1}-a\right)\left(b^{-1}-a\right)^{-1}=1.$$

קישורים חיצוניים

• Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1. OCLC 294885194.